Найдите наименьшее значение функции y = x√x - 3x + 1 на отрезке [1;9].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x\sqrt{x} - 3x + 1 \) на отрезке \( [1;9] \) необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^{3/2} - 3x + 1)' \)
2. \( y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 \)
3. Приравняем производную к нулю: \( \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \)
4. \( \frac{3}{2}\sqrt{x} = 3 \)
5. \( \sqrt{x} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \)
6. \( x = 4 \)
7. Теперь вычислим значения функции в критической точке \( x = 4 \) и на концах отрезка \( x = 1 \) и \( x = 9 \):
8. При \( x = 1 \): \( y(1) = 1\sqrt{1} - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \)
9. При \( x = 4 \): \( y(4) = 4\sqrt{4} - 3(4) + 1 = 4 \cdot 2 - 12 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \)
10. При \( x = 9 \): \( y(9) = 9\sqrt{9} - 3(9) + 1 = 9 \cdot 3 - 27 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1 \)

Сравнивая полученные значения ( -1, -3, 1 ), видим, что наименьшее значение равно -3.

Ответ: -3