Найдите наименьшее значение функции y = 9x - ln (x + 5)9 на отрезке [- 4,5; 0].

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по нахождению наименьшего значения функции. Это немного похоже на квест, где нам нужно найти самую низкую точку на карте.

Что нам дано:

• Функция: \( y = 9x - \ln((x + 5)^9) \)
• Отрезок: \( [-4.5; 0] \)

Наша цель: Найти наименьшее значение этой функции на заданном отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Чтобы понять, где функция растет, а где убывает, нам понадобится ее производная. Производная покажет нам «скорость изменения» функции.

\( y' = (9x - \ln((x + 5)^9))' \)

Сначала возьмем производную от \(9x\):

\( (9x)' = 9 \)

Теперь возьмем производную от \(\ln((x + 5)^9)\). Помним, что \(\ln(a^b) = b         \ln(a)\), так что нашу функцию можно упростить:

\( y = 9x - 9         \ln(x + 5) \)

Теперь найдем производную от упрощенной функции:

\( y' = 9 - 9                            \frac{1}{x + 5}         \frac{1}{(x + 5)}' = 9 - \frac{9}{x + 5} \)

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки — это те, где производная равна нулю или не существует. Именно в этих точках функция может менять свое направление.

Приравниваем производную к нулю:

\( 9 - \frac{9}{x + 5} = 0 \)

\( 9 = \frac{9}{x + 5} \)

\( 1 = \frac{1}{x + 5} \)

\( x + 5 = 1 \)

\( x = 1 - 5 \)

\( x = -4 \)

Теперь проверим, существует ли производная на нашем отрезке \( [-4.5; 0] \). Производная не существует, когда знаменатель равен нулю, то есть \( x + 5 = 0 \), что дает \( x = -5 \). Эта точка не входит в наш отрезок, так что всё в порядке.

Итак, у нас есть одна критическая точка внутри отрезка: \( x = -4 \).

Шаг 3: Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Нам нужно вычислить значение функции \(y\) в следующих точках:

• Левый конец отрезка: \( x = -4.5 \)
• Критическая точка: \( x = -4 \)
• Правый конец отрезка: \( x = 0 \)

Вычисляем значения:

1. При \( x = -4.5 \):

\( y = 9(-4.5) - 9         \ln(-4.5 + 5) \)

\( y = -40.5 - 9         \ln(0.5) \)

Поскольку \(\ln(0.5) = \ln(1/2) = -\ln(2) \approx -0.693 \), то:

\( y         \approx -40.5 - 9(-0.693) \approx -40.5 + 6.237         \approx -34.263 \)

2. При \( x = -4 \):

\( y = 9(-4) - 9         \ln(-4 + 5) \)

\( y = -36 - 9         \ln(1) \)

Поскольку \(\ln(1) = 0 \), то:

\( y = -36 - 9(0) = -36 \)

3. При \( x = 0 \):

\( y = 9(0) - 9         \ln(0 + 5) \)

\( y = 0 - 9         \ln(5) \)

\( y = -9         \ln(5) \)

\(\ln(5)         \approx 1.609 \), так что:

\( y         \approx -9(1.609)         \approx -14.481 \)

Шаг 4: Выбираем наименьшее значение.

Сравниваем полученные значения:

• \( y(-4.5)         \approx -34.263 \)
• \( y(-4) = -36 \)
• \( y(0)         \approx -14.481 \)

Самое маленькое значение из них — это \(-36\).

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке \( [-4.5; 0] \) равно \(-36\).