Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите наименьшее значение функции: y=x² +12x²+36x+97 на отрезке [-5;-0,5
Ответ:
Краткое пояснение: Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, а затем выбрать из них те, что входят в заданный отрезок, и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка.
Пошаговое решение:
- Найдём производную функции: \( y' = 3x^2 + 24x + 36 \)
- Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \( 3x^2 + 24x + 36 = 0 \)Разделим обе части на 3: \( x^2 + 8x + 12 = 0 \)Найдём дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \)Тогда корни уравнения: \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 + 4}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 - 4}{2} = -6 \)
- Из критических точек выбираем те, которые входят в отрезок \( [-5; -0,5] \). В отрезок попадает только точка \( x = -2 \)
- Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:
- \( y(-5) = (-5)^3 + 12(-5)^2 + 36(-5) + 97 = -125 + 300 - 180 + 97 = 92 \)
- \( y(-2) = (-2)^3 + 12(-2)^2 + 36(-2) + 97 = -8 + 48 - 72 + 97 = 65 \)
- \( y(-0,5) = (-0,5)^3 + 12(-0,5)^2 + 36(-0,5) + 97 = -0,125 + 3 - 18 + 97 = 81,875 \)
Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке \( [-5; -0,5] \) равно 65.
