Найдите наименьшее значение выражения 17x² + 8xy + y² + 6x + 9 и значения переменных, при которых оно достигается.

Решение:

Заданное выражение: \( 17x^2 + 8xy + y^2 + 6x + 9 \).

Перегруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат по \( y \):

\( (y^2 + 8xy) + 17x^2 + 6x + 9 \)

Чтобы завершить квадрат \( y^2 + 8xy \), нам нужно добавить \( (4x)^2 = 16x^2 \).

\( (y^2 + 8xy + 16x^2) - 16x^2 + 17x^2 + 6x + 9 \)

\( (y + 4x)^2 + x^2 + 6x + 9 \)

Теперь выделим полный квадрат для оставшихся членов, содержащих \( x \):

\( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \)

Таким образом, выражение принимает вид:

\( (y + 4x)^2 + (x+3)^2 \)

Для того чтобы найти наименьшее значение этого выражения, нужно, чтобы оба квадрата были равны нулю, так как сумма квадратов неотрицательна.

\( (y + 4x)^2 = 0 \) и \( (x+3)^2 = 0 \)

Из \( (x+3)^2 = 0 \) следует, что \( x + 3 = 0 \), то есть \( x = -3 \).

Подставим \( x = -3 \) в первое уравнение:

\( y + 4(-3) = 0 \)

\( y - 12 = 0 \)

\( y = 12 \)

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается при \( x = -3 \) и \( y = 12 \).

Наименьшее значение выражения равно \( 0^2 + 0^2 = 0 \).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при x = -3 и y = 12.