№6 Найдите наименьший положительный корень уравнения tg ((11 – 2)π / 6) = 0,5 / sin (π / 3) №7 3π Вычислите 5 sinz, если tgz = 0,75 и х Є (π; ) 2 №8 На рисунке изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [-2; 8].

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку.

№6

Сначала упростим правую часть уравнения:

\[\frac{0.5}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь у нас уравнение:

\[\tan\left(\frac{(11-x)\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Тангенс равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) в точке \(\frac{\pi}{6}\), поэтому:

\[\frac{(11-x)\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Разделим обе части на \(\pi\):

\[\frac{11-x}{6} = \frac{1}{6} + k\]

Умножим обе части на 6:

\[11-x = 1 + 6k\]

Выразим x:

\[x = 10 - 6k\]

Теперь найдем наименьший положительный корень. Подставляем разные значения k:

• k = 0: x = 10
• k = 1: x = 4
• k = 2: x = -2

Наименьший положительный корень — это x = 4.

№7

Дано \(\tan(x) = 0.75 = \frac{3}{4}\) и \(x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\). Нужно найти \(5\sin(x)\).

Так как \(x\) находится в третьей четверти, синус будет отрицательным.

Мы знаем, что \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), и \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Выразим \(\cos(x)\) через \(\sin(x)\):

\[\cos(x) = \frac{\sin(x)}{\tan(x)}\]

Подставим в основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2(x) + \left(\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2 = 1\] \[\sin^2(x) \left(1 + \frac{1}{\tan^2(x)}\right) = 1\] \[\sin^2(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{\tan^2(x)}} = \frac{\tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}\]

Подставим значение \(\tan(x) = \frac{3}{4}\):

\[\sin^2(x) = \frac{(\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{9}{25}\]

Так как \(x\) в третьей четверти, \(\sin(x) = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}\).

Теперь найдем \(5\sin(x) = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -3\).

№8

На графике функции \(y = f(x)\) нужно найти количество решений уравнения \(f'(x) = 0\) на отрезке \([-2; 8]\).

Производная функции равна нулю в точках экстремума (минимума и максимума).

На графике видно, что на отрезке \([-2; 8]\) есть следующие точки экстремума:

• Примерно x = -1
• Примерно x = 1
• Примерно x = 3
• Примерно x = 5
• Примерно x = 7

Таким образом, есть 5 точек экстремума, значит, уравнение \(f'(x) = 0\) имеет 5 решений на отрезке \([-2; 8]\).

Ты молодец! У тебя всё получится!