Найдите наименьшую высоту прямоугольного треугольника, катеты которого равны 14 см и 48 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике высоты, проведенные к катетам, равны самим катетам. Высота, проведенная к гипотенузе, будет наименьшей.

Сначала найдем длину гипотенузы $$c$$ по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\[ c^2 = 14^2 + 48^2 \]\[ c^2 = 196 + 2304 \]\[ c^2 = 2500 \]\[ c = \sqrt{2500} = 50 \text{ см} \]

Площадь треугольника $$S$$ можно найти двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 48 \text{ см} = 7 \text{ см} \cdot 48 \text{ см} = 336 \text{ см}^2 \]

Также площадь равна:

\[ S = \frac{1}{2}ch \]

где $$h$$ — высота, проведенная к гипотенузе. Найдем $$h$$:

\[ h = \frac{2S}{c} \]\[ h = \frac{2 \cdot 336 \text{ см}^2}{50 \text{ см}} \]\[ h = \frac{672 \text{ см}^2}{50 \text{ см}} \]\[ h = 13.44 \text{ см} \]

Сравним высоты: катеты равны 14 см и 48 см, высота к гипотенузе равна 13.44 см. Наименьшая высота — 13.44 см.

Ответ: 13.44 см.