Найдите натуральное число, большее 3500, но меньшее 3800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Нам нужно найти число \( N \) такое, что \( 3500 < N < 3800 \), все цифры числа различны, и \( N \) делится на каждую свою цифру.

Пусть число имеет вид \( 3abc \), где \( a, b, c \) — различные цифры, отличные от 3, и \( a \neq 0 \).

Рассмотрим возможные варианты:

1. Число 3572: Цифры 3, 5, 7, 2 различны. Проверим делимость:
   • \( 3572 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+5+7+2 = 17 \), не делится на 3.
2. Число 3576: Цифры 3, 5, 7, 6 различны. Проверим делимость:
   • \( 3576 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+5+7+6 = 21 \), делится на 3.
   • \( 3576 \) делится на 5? Нет, оканчивается на 6.
3. Число 3584: Цифры 3, 5, 8, 4 различны. Проверим делимость:
   • \( 3584 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+5+8+4 = 20 \), не делится на 3.
4. Число 3582: Цифры 3, 5, 8, 2 различны. Проверим делимость:
   • \( 3582 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+5+8+2 = 18 \), делится на 3.
   • \( 3582 \) делится на 5? Нет, оканчивается на 2.
5. Число 3625: Цифры 3, 6, 2, 5 различны. Проверим делимость:
   • \( 3625 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+6+2+5 = 16 \), не делится на 3.
6. Число 3642: Цифры 3, 6, 4, 2 различны. Проверим делимость:
   • \( 3642 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+6+4+2 = 15 \), делится на 3.
   • \( 3642 \) делится на 6? Да, так как делится на 2 и 3.
   • \( 3642 \) делится на 4? Нет, последние две цифры 42 не делятся на 4.
7. Число 3672: Цифры 3, 6, 7, 2 различны. Проверим делимость:
   • \( 3672 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+6+7+2 = 18 \), делится на 3.
   • \( 3672 \) делится на 6? Да, так как делится на 2 и 3.
   • \( 3672 \) делится на 7? \( 3672 / 7 = 524.57 \), не делится.
8. Число 3720: Цифры 3, 7, 2, 0 различны. Проверим делимость:
   • \( 3720 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+2+0 = 12 \), делится на 3.
   • \( 3720 \) делится на 7? \( 3720 / 7 = 531.42 \), не делится.
9. Число 3742: Цифры 3, 7, 4, 2 различны. Проверим делимость:
   • \( 3742 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+4+2 = 16 \), не делится на 3.
10. Число 3762: Цифры 3, 7, 6, 2 различны. Проверим делимость:
    • \( 3762 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+6+2 = 18 \), делится на 3.
    • \( 3762 \) делится на 7? \( 3762 / 7 = 537.42 \), не делится.
11. Число 3786: Цифры 3, 7, 8, 6 различны. Проверим делимость:
    • \( 3786 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+8+6 = 24 \), делится на 3.
    • \( 3786 \) делится на 7? \( 3786 / 7 = 540.85 \), не делится.
12. Число 3792: Цифры 3, 7, 9, 2 различны. Проверим делимость:
    • \( 3792 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+9+2 = 21 \), делится на 3.
    • \( 3792 \) делится на 7? \( 3792 / 7 = 541.71 \), не делится.
13. Число 3768: Цифры 3, 7, 6, 8 различны. Проверим делимость:
    • \( 3768 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+7+6+8 = 24 \), делится на 3.
    • \( 3768 \) делится на 7? \( 3768 / 7 = 538.28 \), не делится.
14. Число 3578: Цифры 3, 5, 7, 8 различны. Проверим делимость:
    • \( 3578 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+5+7+8 = 23 \), не делится на 3.
15. Число 3648: Цифры 3, 6, 4, 8 различны. Проверим делимость:
    • \( 3648 \) делится на 3? Сумма цифр \( 3+6+4+8 = 21 \), делится на 3.
    • \( 3648 \) делится на 4? Да, 48 делится на 4.
    • \( 3648 \) делится на 6? Да, делится на 2 и 3.
    • \( 3648 \) делится на 8? Да, 648 делится на 8 (640+8).

    Число 3648 удовлетворяет всем условиям: оно больше 3500, меньше 3800, все цифры (3, 6, 4, 8) различны, и оно делится на каждую свою цифру.

Ответ: 3648