Найдите натуральное число, которое при делении на 10 дает в остатке 3, а при делении на 8 дает в остатке 5. Известно, что второе частное на единицу больше первого частного.

Решение:

Пусть искомое число — \( x \). По условию задачи, мы можем записать два уравнения, используя определение деления с остатком:

1. \( x = 10 \cdot q_1 + 3 \), где \( q_1 \) — первое частное.
2. \( x = 8 \cdot q_2 + 5 \), где \( q_2 \) — второе частное.

Также по условию известно, что второе частное на единицу больше первого:

\( q_2 = q_1 + 1 \)

Приравняем выражения для \( x \):

\( 10 \cdot q_1 + 3 = 8 \cdot q_2 + 5 \)

Подставим \( q_2 = q_1 + 1 \) в уравнение:

\( 10 \cdot q_1 + 3 = 8 \cdot (q_1 + 1) + 5 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 10 \cdot q_1 + 3 = 8 \cdot q_1 + 8 + 5 \)

\( 10 \cdot q_1 + 3 = 8 \cdot q_1 + 13 \)

Перенесём члены с \( q_1 \) в одну сторону, а числа — в другую:

\( 10 \cdot q_1 - 8 \cdot q_1 = 13 - 3 \)

\( 2 \cdot q_1 = 10 \)

\( q_1 = \frac{10}{2} \)

\( q_1 = 5 \)

Теперь найдём \( q_2 \):

\( q_2 = q_1 + 1 = 5 + 1 = 6 \)

Теперь мы можем найти искомое число \( x \), подставив значение \( q_1 \) в первое уравнение:

\( x = 10 \cdot q_1 + 3 = 10 \cdot 5 + 3 = 50 + 3 = 53 \)

Проверим, выполняется ли второе условие:

\( x = 8 \cdot q_2 + 5 = 8 \cdot 6 + 5 = 48 + 5 = 53 \)

Число 53 удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: 53