Найдите натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 3, а при делении на 6 дает в остатке 1. Известно, что второе частное на единицу больше первого частного.

Решение:

Обозначим искомое натуральное число как \( N \).

По условию задачи мы можем записать два уравнения:

1. \( N = 7q_1 + 3 \), где \( q_1 \) — первое частное.
2. \( N = 6q_2 + 1 \), где \( q_2 \) — второе частное.

Также известно, что второе частное на единицу больше первого: \( q_2 = q_1 + 1 \).

Подставим \( q_2 \) во второе уравнение:

\( N = 6(q_1 + 1) + 1 \)
\( N = 6q_1 + 6 + 1 \)
\( N = 6q_1 + 7 \)

Теперь у нас есть два выражения для \( N \):

• \( N = 7q_1 + 3 \)
• \( N = 6q_1 + 7 \)

Приравняем их:

\( 7q_1 + 3 = 6q_1 + 7 \)

Решим это уравнение относительно \( q_1 \):

\( 7q_1 - 6q_1 = 7 - 3 \)
\( q_1 = 4 \)

Теперь, когда мы нашли \( q_1 \), мы можем найти \( N \), используя первое уравнение:

\( N = 7q_1 + 3 \)
\( N = 7 \cdot 4 + 3 \)
\( N = 28 + 3 \)
\( N = 31 \)

Проверим результат, найдя \( q_2 \) и используя второе уравнение:

\( q_2 = q_1 + 1 = 4 + 1 = 5 \)

\( N = 6q_2 + 1 \)
\( N = 6 \cdot 5 + 1 \)
\( N = 30 + 1 \)
\( N = 31 \)

Результаты совпадают.

Ответ: 31