Найдите неизвестные линейные элементы ДMNK (∠K = 90°).

Решение:

Найдём неизвестные линейные элементы для каждого треугольника.

1.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MN = 26 \), \( MK = 10 \). Найти: \( KN \).

По теореме Пифагора: \( MK^2 + KN^2 = MN^2 \)

\( 10^2 + KN^2 = 26^2 \)

\( 100 + KN^2 = 676 \)

\( KN^2 = 676 - 100 = 576 \)

\( KN = \sqrt{576} = 24 \)

Ответ: \( KN = 24 \).

2.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MN = 25 \), \( KL = 12 \) (высота к гипотенузе).

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: \( KL^2 = NL \cdot LM \).

Также \( MK^2 = LM \cdot MN \) и \( KN^2 = NL \cdot MN \).

Из \( KN^2 = NL \cdot MN \) следует \( KN = \sqrt{NL \cdot 25} \).

Из \( MK^2 = LM \cdot MN \) следует \( MK = \sqrt{LM \cdot 25} \).

Из \( KL^2 = NL \cdot LM \) имеем \( 12^2 = NL \cdot LM \) => \( 144 = NL \cdot LM \).

Также \( NL + LM = MN = 25 \). Пусть \( NL = x \), тогда \( LM = 25 - x \).

\( 144 = x(25 - x) \)

\( 144 = 25x - x^2 \)

\( x^2 - 25x + 144 = 0 \)

Найдём корни: \( D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).

\( x_1 = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16 \). \( x_2 = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Пусть \( NL = 16 \) и \( LM = 9 \).

Тогда \( KN = \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20 \)

\( MK = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15 \)

Проверка: \( 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 \).

Ответ: \( KN = 20 \), \( MK = 15 \).

3.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( KE = 6 \) (высота к гипотенузе), \( EN = 8 \).

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы. \( KN^2 = EN \cdot MN \).

Квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: \( KE^2 = NE \cdot EN \).

\( 6^2 = NE \cdot 8 \)

\( 36 = NE \cdot 8 \)

\( NE = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5 \).

\( MN = NE + EN = 4.5 + 8 = 12.5 \).

Теперь найдём \( KN \): \( KN^2 = EN \cdot MN = 8 \cdot 12.5 = 100 \). \( KN = \sqrt{100} = 10 \).

Найдем \( MK \): \( MK^2 = MN^2 - KN^2 = (12.5)^2 - 10^2 = 156.25 - 100 = 56.25 \).

\( MK = \sqrt{56.25} = 7.5 \).

Ответ: \( MN = 12.5 \), \( KN = 10 \), \( MK = 7.5 \).

4.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MK = 5 \), \( KN = 12 \).

По теореме Пифагора: \( MN^2 = MK^2 + KN^2 \)

\( MN^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)

\( MN = \sqrt{169} = 13 \).

Найдем высоту \( KT \) к гипотенузе. Площадь \( \Delta MNK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \).

Площадь также равна \( \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KT \).

\( \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot KT = 30 \)

\( 13 \cdot KT = 60 \)

\( KT = \frac{60}{13} \).

Ответ: \( MN = 13 \), \( KT = \frac{60}{13} \).

5.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MN = 25 \), \( MK = 10 \).

По теореме Пифагора: \( MK^2 + KN^2 = MN^2 \)

\( 10^2 + KN^2 = 25^2 \)

\( 100 + KN^2 = 625 \)

\( KN^2 = 625 - 100 = 525 \)

\( KN = \sqrt{525} = \sqrt{25 \cdot 21} = 5\sqrt{21} \).

Ответ: \( KN = 5\sqrt{21} \).

6.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MN = 50 \), \( KN : KM = 3 : 4 \).

Пусть \( KN = 3x \) и \( KM = 4x \).

По теореме Пифагора: \( KN^2 + KM^2 = MN^2 \)

\( (3x)^2 + (4x)^2 = 50^2 \)

\( 9x^2 + 16x^2 = 2500 \)

\( 25x^2 = 2500 \)

\( x^2 = 100 \)

\( x = 10 \).

\( KN = 3x = 3 \cdot 10 = 30 \).

\( KM = 4x = 4 \cdot 10 = 40 \).

Найдем высоту \( KF \) к гипотенузе. Площадь \( \Delta MNK = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \).

Площадь также равна \( \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KF \).

\( \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot KF = 600 \)

\( 25 \cdot KF = 600 \)

\( KF = \frac{600}{25} = 24 \).

Ответ: \( KN = 30 \), \( KM = 40 \), \( KF = 24 \).

7.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( TN - MT = 11 \), \( KN : KM = 6 : 5 \).

Пусть \( KN = 6x \) и \( KM = 5x \).

По теореме Пифагора: \( KN^2 + KM^2 = MN^2 \)

\( (6x)^2 + (5x)^2 = MN^2 \)

\( 36x^2 + 25x^2 = MN^2 \)

\( 61x^2 = MN^2 \) => \( MN = x\sqrt{61} \).

Обозначим \( T \) как точку на \( MN \) такую, что \( KT \perp MN \).

Высота \( KT = \frac{KN \cdot KM}{MN} = \frac{6x \cdot 5x}{x\sqrt{61}} = \frac{30x}{\sqrt{61}} \).

Отрезки гипотенузы \( MT \) и \( TN \):

\( KM^2 = MT \cdot MN \) => \( (5x)^2 = MT \cdot x\sqrt{61} \) => \( 25x^2 = MT \cdot x\sqrt{61} \) => \( MT = \frac{25x}{\sqrt{61}} \).

\( KN^2 = TN \cdot MN \) => \( (6x)^2 = TN \cdot x\sqrt{61} \) => \( 36x^2 = TN \cdot x\sqrt{61} \) => \( TN = \frac{36x}{\sqrt{61}} \).

Проверим условие \( TN - MT = 11 \):

\( \frac{36x}{\sqrt{61}} - \frac{25x}{\sqrt{61}} = 11 \)

\( \frac{11x}{\sqrt{61}} = 11 \)

\( x = \sqrt{61} \).

Теперь найдём длины сторон:

\( KN = 6x = 6\sqrt{61} \).

\( KM = 5x = 5\sqrt{61} \).

\( MN = x\sqrt{61} = \sqrt{61} \cdot \sqrt{61} = 61 \).

\( MT = \frac{25x}{\sqrt{61}} = \frac{25\sqrt{61}}{\sqrt{61}} = 25 \).

\( TN = \frac{36x}{\sqrt{61}} = \frac{36\sqrt{61}}{\sqrt{61}} = 36 \).

Ответ: \( KN = 6\sqrt{61} \), \( KM = 5\sqrt{61} \), \( MN = 61 \), \( MT = 25 \), \( TN = 36 \).

8.

Дано: \( \Delta MNK \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( MK = 3\sqrt{5} \), \( KN = 6 \), \( ME = EN \) (E - середина MK).

Сначала найдём гипотенузу \( MN \) по теореме Пифагора:

\( MN^2 = MK^2 + KN^2 = (3\sqrt{5})^2 + 6^2 = (9 \cdot 5) + 36 = 45 + 36 = 81 \).

\( MN = \sqrt{81} = 9 \).

Так как \( E \) - середина \( MK \), то \( ME = EK = \frac{MK}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \).

Теперь найдём высоту \( KF \) к гипотенузе:

Площадь \( \Delta MNK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 6 = 9\sqrt{5} \).

Площадь также равна \( \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KF \).

\( \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot KF = 9\sqrt{5} \)

\( 9 \cdot KF = 18\sqrt{5} \)

\( KF = 2\sqrt{5} \).

Ответ: \( MN = 9 \), \( KF = 2\sqrt{5} \).