1. Найдите НОД и НОК: a) 54 и 81 б) 35 и 75 в) 36,48 и 84 г) 100, 120, 210

Решение:

Давай разберем по порядку, как найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для каждой пары чисел.

a) 54 и 81

1. Находим НОД(54, 81):

Разложим числа на простые множители:

• 54 = 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 = 2 \(\cdot\) 3³
• 81 = 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 = 3⁴

НОД — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями: НОД(54, 81) = 3³ = 27

2. Находим НОК(54, 81):

НОК — это произведение всех простых множителей с наибольшими степенями, которые входят в разложение чисел:

НОК(54, 81) = 2 \(\cdot\) 3⁴ = 2 \(\cdot\) 81 = 162

б) 35 и 75

1. Находим НОД(35, 75):

Разложим числа на простые множители:

• 35 = 5 \(\cdot\) 7
• 75 = 3 \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 5 = 3 \(\cdot\) 5²

НОД — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями: НОД(35, 75) = 5

2. Находим НОК(35, 75):

НОК — это произведение всех простых множителей с наибольшими степенями, которые входят в разложение чисел:

НОК(35, 75) = 3 \(\cdot\) 5² \(\cdot\) 7 = 3 \(\cdot\) 25 \(\cdot\) 7 = 525

в) 36, 48 и 84

1. Находим НОД(36, 48, 84):

Разложим числа на простые множители:

• 36 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 = 2² \(\cdot\) 3²
• 48 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 = 2⁴ \(\cdot\) 3
• 84 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 7 = 2² \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 7

НОД — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями: НОД(36, 48, 84) = 2² \(\cdot\) 3 = 4 \(\cdot\) 3 = 12

2. Находим НОК(36, 48, 84):

НОК — это произведение всех простых множителей с наибольшими степенями, которые входят в разложение чисел:

НОК(36, 48, 84) = 2⁴ \(\cdot\) 3² \(\cdot\) 7 = 16 \(\cdot\) 9 \(\cdot\) 7 = 1008

г) 100, 120 и 210

1. Находим НОД(100, 120, 210):

Разложим числа на простые множители:

• 100 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 5 = 2² \(\cdot\) 5²
• 120 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 = 2³ \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5
• 210 = 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 7

НОД — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями: НОД(100, 120, 210) = 2 \(\cdot\) 5 = 10

2. Находим НОК(100, 120, 210):

НОК — это произведение всех простых множителей с наибольшими степенями, которые входят в разложение чисел:

НОК(100, 120, 210) = 2³ \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5² \(\cdot\) 7 = 8 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 25 \(\cdot\) 7 = 4200

Ответ:

• a) НОД(54, 81) = 27, НОК(54, 81) = 162
• б) НОД(35, 75) = 5, НОК(35, 75) = 525
• в) НОД(36, 48, 84) = 12, НОК(36, 48, 84) = 1008
• г) НОД(100, 120, 210) = 10, НОК(100, 120, 210) = 4200

Ответ: [см. выше]

Отлично! Теперь ты знаешь, как находить НОД и НОК для разных чисел. У тебя все получится!