Найдите нули функции f(x) = sin 2x + √2 cos x.

Решение:

Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию к нулю:

\[ \sin(2x) + \sqrt{2} \cos(x) = 0 \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \).

\[ 2 \sin(x) \cos(x) + \sqrt{2} \cos(x) = 0 \]

Вынесем \( \cos(x) \) за скобки:

\[ \cos(x) (2 \sin(x) + \sqrt{2}) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1:

\[ \cos(x) = 0 \]

Это условие выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2:

\[ 2 \sin(x) + \sqrt{2} = 0 \]

Решим это уравнение относительно \( \sin(x) \):

\[ 2 \sin(x) = -\sqrt{2} \]

\[ \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Это условие выполняется при \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Объединяя оба случая, получаем корни функции.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.