Найдите нули функции $$y = f(x)$$, если: a) $$y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$$; б) $$y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$$.

Перевод задания:

Найдите нули функции $$y = f(x)$$, если:

a) $$y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$$;

б) $$y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$$.

Решение:

а) Чтобы найти нули функции $$y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$$, нужно решить уравнение $$y = 0$$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Следовательно, нужно решить уравнение $$|x| - 3 = 0$$, что эквивалентно $$|x| = 3$$.

Решениями этого уравнения являются $$x = 3$$ и $$x = -3$$.

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях $$x$$.

Если $$x = 3$$, то $$|x + 3| = |3 + 3| = |6| = 6 \neq 0$$.

Если $$x = -3$$, то $$|x + 3| = |-3 + 3| = |0| = 0$$. Значит, $$x = -3$$ не является нулем функции, так как знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, единственный нуль функции в случае (а) это $$x = 3$$.

б) Чтобы найти нули функции $$y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$$, нужно решить уравнение $$y = 0$$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Следовательно, нужно решить уравнение $$\sqrt{3 - 2x} = 0$$.

Это уравнение эквивалентно $$3 - 2x = 0$$, откуда $$2x = 3$$ и $$x = \frac{3}{2}$$.

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при $$x = \frac{3}{2}$$.

Если $$x = \frac{3}{2}$$, то $$x + 5 = \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2} \neq 0$$.

Также необходимо проверить область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $$3 - 2x \geq 0$$.

Это неравенство можно переписать как $$2x \leq 3$$, откуда $$x \leq \frac{3}{2}$$. Так как $$x = \frac{3}{2}$$ удовлетворяет этому условию, то это значение является нулем функции.

Таким образом, единственный нуль функции в случае (б) это $$x = \frac{3}{2}$$.

Ответ:

а) $$x = 3$$;

б) $$x = \frac{3}{2}$$.