Найдите объединение и пересечение множеств A и B, если: а) A = [-6; 2], B = [0; 4]; б) A = [-6; 2), B = [2; 4]; в) A = [-6; 2], B = (0; 2). Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию, и запишите его на символическом языке: а) |x − 4| ≤ 1; б) |x − 4| ≥ 1; в) |x + 5| < 2; г) |x + 5| > 2; д) |x| ≤ 6; е) |x| ≥ 3.

1. Объединение и пересечение множеств

1. а) Интервалы пересекаются на отрезке от 0 до 2:
   \(A\cup B=[-6;4]\), \(A\cap B=[0;2]\).
2. б) Точка 2 принадлежит множеству \(B\), но не принадлежит множеству \(A\). Поэтому:
   \(A\cup B=[-6;4]\), \(A\cap B=\varnothing\).
3. в) Общие точки удовлетворяют условию \(0<x\le2\), а объединение — от −6 до 2 с исключением 0:
   \(A\cup B=[-6;2]\), \(A\cap B=(0;2)\).

Ответ: а) \(A\cup B=[-6;4]\), \(A\cap B=[0;2]\); б) \(A\cup B=[-6;4]\), \(A\cap B=\varnothing\); в) \(A\cup B=[-6;2]\), \(A\cap B=(0;2)\).

2. Решение неравенств

1. а) \(|x-4|\le1\Rightarrow -1\le x-4\le1\Rightarrow3\le x\le5\). Ответ: \(x\in[3;5]\).
2. б) \(|x-4|\ge1\Rightarrow x-4\le-1\) или \(x-4\ge1\Rightarrow x\le3\) или \(x\ge5\). Ответ: \(x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)\).
3. в) \(|x+5|<2\Rightarrow -2<x+5<2\Rightarrow -7<x<-3\). Ответ: \(x\in(-7;-3)\).
4. г) \(|x+5|>2\Rightarrow x+5<-2\) или \(x+5>2\Rightarrow x<-7\) или \(x>-3\). Ответ: \(x\in(-\infty;-7)\cup(-3;+\infty)\).
5. д) \(|x|\le6\Rightarrow -6\le x\le6\). Ответ: \(x\in[-6;6]\).
6. е) \(|x|\ge3\Rightarrow x\le-3\) или \(x\ge3\). Ответ: \(x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\).

На координатной прямой для неравенств с \(\le\) и \(\ge\) концы отмечаются закрашенными точками, с \(<\) и \(>\) — незакрашенными; промежуток между точками или внешние лучи выделяются.