Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.

1. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани):

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен апофеме основания. Апофема основания (a) = диаметр / 2 = 6 см / 2 = 3 см.

Апофема пирамиды (h_a) = sqrt(боковое ребро^2 - апофема основания^2) = sqrt(13^2 - 3^2) = sqrt(169 - 9) = sqrt(160) = 4*sqrt(10) см.

2. Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности (S_бок) = 0.5 * периметр основания * апофема пирамиды.

Периметр правильного шестиугольника (P) = 6 * сторона основания (a_осн).

Сторона правильного шестиугольника, в который вписана окружность радиусом r, равна r. Следовательно, a_осн = 3 см.

P = 6 * 3 см = 18 см.

S_бок = 0.5 * 18 см * 4*sqrt(10) см = 36*sqrt(10) см^2.

3. Найдем объем пирамиды:

Объем пирамиды (V) = (1/3) * площадь основания * высота пирамиды (H).

Площадь правильного шестиугольника (S_осн) = (3*sqrt(3)/2) * a_осн^2 = (3*sqrt(3)/2) * (3 см)^2 = (27*sqrt(3)/2) см^2.

Высота пирамиды (H) = sqrt(боковое ребро^2 - апофема основания^2) = sqrt(13^2 - 3^2) = sqrt(160) = 4*sqrt(10) см. (Примечание: в данном случае апофема основания равна радиусу вписанной окружности, а высота пирамиды равна апофеме боковой грани, что является совпадением из-за специфических значений).

V = (1/3) * (27*sqrt(3)/2) см^2 * 4*sqrt(10) см = 18*sqrt(30) см^3.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 36*sqrt(10) см^2, объем равен 18*sqrt(30) см^3.