Найдите объем правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

Решение:

Объем правильной призмы вычисляется по формуле: V = Sосн · h, где Sосн — площадь основания, а h — высота призмы.

В правильной n-угольной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть h = a.

Площадь правильного n-угольника вычисляется по формуле: Sосн = \( \frac{1}{4} n a^2 \text{ctg} \frac{\pi}{n} \), где a — длина стороны многоугольника.

Таким образом, объем правильной n-угольной призмы равен: V = \( \frac{1}{4} n a^2 \text{ctg} \frac{\pi}{n} \) · a = \( \frac{1}{4} n a^3 \text{ctg} \frac{\pi}{n} \).

а) n = 3 (треугольная призма):

V = \( \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot a^3 \text{ctg} \frac{\pi}{3} \)

\( \text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

V = \( \frac{3}{4} a^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \)

б) n = 4 (четырехугольная призма):

V = \( \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot a^3 \text{ctg} \frac{\pi}{4} \)

\( \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \)

V = \( \frac{4}{4} a^3 \cdot 1 = a^3 \)

в) n = 6 (шестиугольная призма):

V = \( \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot a^3 \text{ctg} \frac{\pi}{6} \)

\( \text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \)

V = \( \frac{6}{4} a^3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3 \)

г) n = 8 (восьмиугольная призма):

V = \( \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot a^3 \text{ctg} \frac{\pi}{8} \)

\( \text{ctg} \frac{\pi}{8} = 1 + \sqrt{2} \)

V = \( \frac{8}{4} a^3 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2(1 + \sqrt{2}) a^3 \)

Ответ: а) V = \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \); б) V = a^3; в) V = \( \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3 \); г) V = 2\(1 + \sqrt{2}\) a^3.