Найдите объём тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 0, x = -2.

Решение:

Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОХ используется формула:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

В данном случае функция \( f(x) = x^3 \), пределы интегрирования \( a = -2 \) и \( b = 0 \) (так как \( y = 0 \) — ось ОХ, и мы рассматриваем область от \( x = -2 \) до \( x = 0 \)).

1. Подставим функцию в формулу:

\[ V = \pi \int_{-2}^{0} (x^3)^2 dx \]

2. Упростим подынтегральное выражение:

\[ V = \pi \int_{-2}^{0} x^6 dx \]

3. Вычислим интеграл:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{-2}^{0} \]

4. Подставим пределы интегрирования:

\[ V = \pi \left( \frac{0^7}{7} - \frac{(-2)^7}{7} \right) \]

\[ V = \pi \left( 0 - \frac{-128}{7} \right) \]

\[ V = \pi \left( \frac{128}{7} \right) \]

Ответ: \( \frac{128\pi}{7} \).