Найдите область определения функции \(y = \sqrt{(8 - x)(x + 21)}\).

Пошаговое решение:

Нам нужно решить неравенство: \[(8 - x)(x + 21) \ge 0\]

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем нули функции:

1. Решаем уравнение \((8 - x)(x + 21) = 0\)

   Корни уравнения: \(x = 8\) и \(x = -21\)

2. Определяем знаки выражения \((8 - x)(x + 21)\) на интервалах, образованных корнями. Проще всего взять значения из каждого интервала и подставить в исходное неравенство, чтобы понять знак.

   Рассмотрим интервалы: \((-\infty; -21)\), \((-21; 8)\), \((8; +\infty)\)

   На интервале \((-\infty; -21)\) возьмем точку \(x = -22\). \[(8 - (-22))(-22 + 21) = (30)(-1) = -30 < 0\]

   На интервале \((-21; 8)\) возьмем точку \(x = 0\). \[(8 - 0)(0 + 21) = (8)(21) = 168 > 0\]

   На интервале \((8; +\infty)\) возьмем точку \(x = 9\). \[(8 - 9)(9 + 21) = (-1)(30) = -30 < 0\]

3. Выбираем интервал, где выражение \((8 - x)(x + 21)\) неотрицательно. Этим интервалом является \([-21; 8]\). Так как неравенство нестрогое, включаем концы интервала.

Ответ: \([-21; 8]\)