Найдите область определения функции: a) y = (3x - 2) / (5x + 3); б) y = 6 / (x^2 - 16); a) y = sqrt(x^2 - 3x + 2); б) y = 1 / sqrt(x^2 - 4); г) y = sqrt(3 / (49 - x^2)).

Решение:

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (x).

а) \( y = \frac{3x - 2}{5x + 3} \)

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

• \( 5x + 3 \neq 0 \)
• \( 5x \neq -3 \)
• \( x \neq -\frac{3}{5} \)

Область определения: \( x \in \left(-\infty; -\frac{3}{5}\right) \cup \left(-\frac{3}{5}; +\infty\right) \).

б) \( y = \frac{6}{x^2 - 16} \)

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

• \( x^2 - 16 \neq 0 \)
• \( x^2 \neq 16 \)
• \( x \neq \pm 4 \)

Область определения: \( x \in \left(-\infty; -4\right) \cup \left(-4; 4\right) \cup \left(4; +\infty\right) \).

а) \( y = \sqrt{x^2 - 3x + 2} \)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

• \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена:

• \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
• \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
• \( x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)

Парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \) выполняется при \( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \).

Область определения: \( x \in \left(-\infty; 1\right] \cup \left[2; +\infty\right) \).

б) \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} \)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть положительным (так как оно в знаменателе).

• \( x^2 - 4 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена:

• \( x^2 - 4 = 0 \)
• \( x^2 = 4 \)
• \( x = \pm 2 \)

Парабола \( y = x^2 - 4 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 4 > 0 \) выполняется при \( x < -2 \) или \( x > 2 \).

Область определения: \( x \in \left(-\infty; -2\right) \cup \left(2; +\infty\right) \).

г) \( y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}} \)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

• \( \frac{3}{49 - x^2} \geq 0 \)
• \( 49 - x^2 \neq 0 \)

Так как числитель (3) положителен, то для выполнения неравенства \( \frac{3}{49 - x^2} \geq 0 \) необходимо, чтобы знаменатель был положителен:

• \( 49 - x^2 > 0 \)
• \( x^2 < 49 \)
• \( -7 < x < 7 \)

Область определения: \( x \in \left(-7; 7\right) \).

Ответ: а) \( x \neq -\frac{3}{5} \); б) \( x \neq \pm 4 \); а) \( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \); б) \( x < -2 \) или \( x > 2 \); г) \( -7 < x < 7 \).