Найдите область определения функции y = √3x² + 21x

Решение:

• Для нахождения области определения функции вида $$y = \sqrt{f(x)}$$ необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, то есть $$f(x) \ge 0$$.
• В данном случае $$f(x) = 3x^2 + 21x$$.
• Составим неравенство: $$3x^2 + 21x \ge 0$$.
• Вынесем общий множитель $$3x$$: $$3x(x + 7) \ge 0$$.
• Найдем корни уравнения $$3x(x + 7) = 0$$: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -7$$.
• Теперь определим знаки выражения $$3x(x + 7)$$ на интервалах, образованных корнями:
• При $$x < -7$$: $$3x$$ отрицательно, $$(x+7)$$ отрицательно. Произведение положительно.
• При $$-7 < x < 0$$: $$3x$$ отрицательно, $$(x+7)$$ положительно. Произведение отрицательно.
• При $$x > 0$$: $$3x$$ положительно, $$(x+7)$$ положительно. Произведение положительно.
• Так как нам нужно $$3x(x + 7) \ge 0$$, то областью определения являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
• Таким образом, $$x \in (-\infty; -7] \cup [0; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -7] \cup [0; +\infty)$$