Найдите область определения функции $$y = \sqrt{\log_{7}(x^2 + 1,5x)}$$.

Для нахождения области определения функции $$y = \sqrt{\log_{7}(x^2 + 1.5x)}$$ необходимо учесть два условия:

1. Выражение под логарифмом должно быть положительным: $$x^2 + 1.5x > 0$$.
2. Логарифм должен быть неотрицательным, так как он находится под квадратным корнем: $$\log_{7}(x^2 + 1.5x) \geq 0$$.

Решим первое неравенство:

$$x^2 + 1.5x > 0$$

$$x(x + 1.5) > 0$$

Корни: $$x = 0$$ и $$x = -1.5$$.

Метод интервалов: $$(-\infty; -1.5) \cup (0; +\infty)$$.

Решим второе неравенство:

$$\log_{7}(x^2 + 1.5x) \geq 0$$

$$x^2 + 1.5x \geq 7^0$$

$$x^2 + 1.5x \geq 1$$

$$x^2 + 1.5x - 1 \geq 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 1.5x - 1 = 0$$:

$$D = 1.5^2 - 4(1)(-1) = 2.25 + 4 = 6.25$$

$$x_{1,2} = \frac{-1.5 \pm \sqrt{6.25}}{2} = \frac{-1.5 \pm 2.5}{2}$$

$$x_1 = \frac{-1.5 + 2.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{-1.5 - 2.5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Решение неравенства $$x^2 + 1.5x - 1 \geq 0$$: $$(-\infty; -2] \cup [0.5; +\infty)$$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство: $$(-\infty; -1.5) \cup (0; +\infty)$$.
• Второе неравенство: $$(-\infty; -2] \cup [0.5; +\infty)$$.

Пересечение: $$(-\infty; -2] \cup [0.5; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -2] \cup [0.5; +\infty)$$