Найдите область определения и множество значений функции f(x) = log2(8x – x²).

Для решения этой задачи нам нужно найти область определения и множество значений заданной логарифмической функции. 1. Область определения: Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В нашем случае аргументом является выражение $$8x - x^2$$. Следовательно, нам нужно решить неравенство: $$8x - x^2 > 0$$ $$x(8 - x) > 0$$ Чтобы решить это неравенство, найдем нули функции $$x(8-x)$$, то есть значения x, при которых выражение равно нулю: $$x = 0$$ или $$8 - x = 0 Rightarrow x = 8$$ Теперь определим знаки выражения $$x(8 - x)$$ на интервалах, заданных этими нулями: * При $$x < 0$$, оба множителя x и (8 - x) отрицательны, следовательно, их произведение положительно. Однако нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. * При $$0 < x < 8$$, x положителен, а (8 - x) также положителен, следовательно, их произведение положительно. Это подходит. * При $$x > 8$$, x положителен, а (8 - x) отрицателен, следовательно, их произведение отрицательно. Таким образом, область определения функции: $$x in (0; 8)$$. 2. Множество значений: Теперь найдем множество значений функции. Поскольку у нас логарифм по основанию 2, а аргумент $$8x - x^2$$ может принимать различные значения, определим, какое максимальное значение может принимать аргумент $$8x - x^2$$. Найдем максимум функции $$g(x) = 8x - x^2$$. Для этого найдем её производную и приравняем к нулю: $$g'(x) = 8 - 2x$$ $$8 - 2x = 0$$ $$x = 4$$ Подставим $$x = 4$$ в функцию $$g(x)$$, чтобы найти максимальное значение: $$g(4) = 8(4) - (4)^2 = 32 - 16 = 16$$ Таким образом, максимальное значение аргумента логарифма равно 16. Теперь найдем значение функции $$f(x)$$ при этом значении: $$f(4) = log_2(16) = log_2(2^4) = 4$$ Поскольку аргумент логарифма может принимать любые значения от 0 (не включая) до 16, значения функции $$f(x)$$ могут быть от $$-infty$$ (стремится к минус бесконечности при приближении аргумента к 0) до 4 (включительно). Таким образом, множество значений функции: $$(-infty; 4]$$. Ответ: * Область определения: $$(0; 8)$$ * Множество значений: $$(-\infty; 4]$$