Найдите область определения и множество значений функции у = -√(x² + 8x + 16).

Решение

Привет! Давай разберем эту задачу вместе. Нам нужно найти область определения и множество значений функции y = -√(x² + 8x + 16).

1. Область определения функции

Область определения функции – это все значения x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x^2 + 8x + 16 \geq 0\]

Заметим, что это полный квадрат:

\[(x + 4)^2 \geq 0\]

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для всех x. Однако, поскольку у нас есть корень, нужно проверить, чтобы выражение под корнем было определено. В данном случае, квадрат всегда положителен или равен нулю, поэтому x может быть любым числом.

Таким образом, область определения - все действительные числа.

2. Множество значений функции

Теперь найдем множество значений функции. Так как (x + 4)² всегда неотрицательно, то √(x + 4)² всегда неотрицательно. Но у нас стоит знак минус перед корнем, поэтому -√(x + 4)² всегда неположительно (то есть меньше или равно нулю).

Максимальное значение функция принимает, когда (x + 4)² = 0, то есть x = -4. В этом случае y = -√(0) = 0.

Так как квадрат может принимать любые неотрицательные значения, а перед корнем стоит знак минус, функция может принимать любые неположительные значения.

Таким образом, множество значений функции – это все y ≤ 0.

Ответ: Область определения: все действительные числа; Множество значений: y ≤ 0

Отлично! Ты хорошо поработал. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!