5. Найдите область определения и множество значений квадра- 2 тичной функции f(x) = -x² + 4x + 6.

Решение

Для квадратичной функции f(x) = -x² + 4x + 6 найдем область определения и множество значений.

1. Область определения:

   Квадратичная функция определена для всех действительных чисел, так как нет ограничений на значения x. Таким образом, область определения: \[ x \in (-\infty; +\infty) \]

2. Множество значений:

   Чтобы найти множество значений, определим вершину параболы. Функция имеет вид f(x) = ax² + bx + c, где a = -1, b = 4, c = 6. Так как a < 0, парабола направлена вниз, и вершина будет максимальной точкой функции.

   Найдем x-координату вершины по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \]

   Найдем y-координату вершины (значение функции в этой точке): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 6 = -4 + 8 + 6 = 10 \]

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (2; 10). Поскольку парабола направлена вниз, максимальное значение функции равно 10, и функция принимает все значения меньше или равные 10.

   Множество значений функции: \[ y \in (-\infty; 10] \]

Ответ: Область определения: \[ x \in (-\infty; +\infty) \], множество значений: \[ y \in (-\infty; 10] \]

Молодец! Ты отлично справился с заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!