Найдите область определения и множество значений функции у = -√x² + 8x + 16. Область определения функции:

Решение:

Давай разберем по порядку! Нам нужно найти область определения и множество значений функции \[y = -\sqrt{x^2 + 8x + 16}.\]

Сначала найдем область определения функции. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю:

\[x^2 + 8x + 16 \ge 0.\]

Заметим, что это выражение можно свернуть в полный квадрат:

\[(x + 4)^2 \ge 0.\]

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции – все действительные числа:

\[x \in (-\infty; +\infty).\]

Теперь найдем множество значений функции. Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то

\[\sqrt{(x + 4)^2} \ge 0.\]

Учитывая знак минус перед корнем, получаем

\[-\sqrt{(x + 4)^2} \le 0.\]

Таким образом, множество значений функции – все числа, меньшие или равные нулю:

\[y \in (-\infty; 0].\]

Ответ: Область определения: \[x \in (-\infty; +\infty).\] Множество значений: \[y \in (-\infty; 0].\]

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!