Найдите область определения и множество значений функции у - √x² + 8x + 16 =

Привет! Давай вместе разберемся с этой задачкой. Нам нужно найти область определения и множество значений заданной функции. Будем делать все по шагам, и у нас обязательно получится!

\( y = -\sqrt{x^2 + 8x + 16} \)

Область определения функции — это все допустимые значения переменной \( x \), при которых функция имеет смысл. В данном случае, у нас есть квадратный корень, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Значит, нужно решить неравенство:

\( x^2 + 8x + 16 \ge 0 \)

Заметим, что \( x^2 + 8x + 16 \) — это полный квадрат:

\( (x + 4)^2 \ge 0 \)

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для всех \( x \). Таким образом, область определения — это все действительные числа.

Теперь найдем множество значений функции. Так как \( (x + 4)^2 \ge 0 \), то \( \sqrt{(x + 4)^2} = |x + 4| \). Следовательно,

\( y = -|x + 4| \)

Абсолютное значение всегда неотрицательно, то есть \( |x + 4| \ge 0 \). Умножая на минус, получаем:

\( -|x + 4| \le 0 \)

Значит, наибольшее значение функции \( y \) равно 0, и оно достигается при \( x = -4 \). Функция принимает все значения от минус бесконечности до нуля включительно.

Область определения: \( x \in (-\infty; +\infty) \)

Множество значений: \( y \in (-\infty; 0] \)

Отлично! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось. Продолжай в том же духе, и все получится!