Найдите область определения каждой из функций (43-44). 43. a) f(x)=\frac{x-1}{x^2-4x+3} B) f (x)=\frac{5-x^2}{x^2+2x-8} 44. a) f(x)=\frac{1}{x^3}; B) f (x)=1+ctg x;

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Давай вместе разберемся с этими функциями и найдем их области определения.

43. a) \( f(x) = \frac{x-1}{x^2-4x+3} \)

Для начала, нужно найти значения x, при которых знаменатель не равен нулю:

\( x^2 - 4x + 3
eq 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)

Таким образом, область определения функции:

\( x
eq 1, x
eq 3 \)

В виде интервалов:

\( (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty) \)

43. B) \( f(x) = \frac{5-x^2}{x^2+2x-8} \)

Снова ищем значения x, при которых знаменатель не равен нулю:

\( x^2 + 2x - 8
eq 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

Таким образом, область определения функции:

\( x
eq 2, x
eq -4 \)

В виде интервалов:

\( (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty) \)

44. a) \( f(x) = \frac{1}{x^3} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( x^3
eq 0 \)

\( x
eq 0 \)

Область определения:

\( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)

44. B) \( f(x) = 1 + \operatorname{ctg} x \)

Котангенс определяется как \( \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Значит, \( \sin x
eq 0 \).

\( x
eq \pi n \), где n - целое число.

Область определения:

\( x
eq \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: Области определения найдены для каждой функции.

Поздравляю, ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!