20. Найдите область определения выражения √3x²-x-14 x²-9

Область определения выражения - это множество всех допустимых значений переменной x, при которых выражение имеет смысл.

В данном случае необходимо учесть два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$3x^2 - x - 14 ≥ 0$$
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $$x^2 - 9 ≠ 0$$

Решим первое неравенство: $$3x^2 - x - 14 ≥ 0$$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - x - 14 = 0$$:

$$D = (-1)^2 - 4 cdot 3 cdot (-14) = 1 + 168 = 169$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

Таким образом, парабола $$3x^2 - x - 14$$ пересекает ось x в точках -2 и 7/3. Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство $$3x^2 - x - 14 ≥ 0$$ выполняется при $$x ≤ -2$$ и при $$x ≥ \frac{7}{3}$$

Решим второе условие: $$x^2 - 9 ≠ 0$$. Это означает, что $$x ≠ ±3$$

Таким образом, область определения выражения включает в себя все значения x, такие что $$x ≤ -2$$ и $$x ≥ \frac{7}{3}$$, за исключением x = -3 и x = 3. Учитывая это, область определения можно записать в виде объединения интервалов:

$$x ∈ (-∞; -3) ∪ (-3; -2] ∪ [\frac{7}{3}; 3) ∪ (3; +∞)$$

Ответ: $$x ∈ (-∞; -3) ∪ (-3; -2] ∪ [\frac{7}{3}; 3) ∪ (3; +∞)$$