18.7. Найдите область определения выражения: a) 16/x²-25+ 16/x x 1 x+7 ; 6) /2x²-5x+2 3x2 3/4x²-1

Решение:

Давай разберем по порядку, как найти область определения выражения для каждого случая.

а) \( \sqrt[16]{x^2-25} + \frac{1}{\sqrt[4]{x^3-x^2}} \)

Для первого слагаемого, \( \sqrt[16]{x^2-25} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как корень четной степени:

\[ x^2 - 25 \geq 0 \] \[ (x-5)(x+5) \geq 0 \]

Решением этого неравенства являются интервалы:

\[ x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty) \]

Для второго слагаемого, \( \frac{1}{\sqrt[4]{x^3-x^2}} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным (строго больше нуля), так как корень находится в знаменателе:

\[ x^3 - x^2 > 0 \] \[ x^2(x-1) > 0 \]

Так как \( x^2 \) всегда неотрицателен, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( x-1 > 0 \), то есть:

\[ x > 1 \]

Область определения выражения - это пересечение решений для обоих слагаемых:

\[ x \in [5, +\infty) \]

б) \( \sqrt[8]{2x^2-5x+2} - \frac{x+7}{\sqrt[3]{4x^2-1}} \)

Для первого слагаемого, \( \sqrt[8]{2x^2-5x+2} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как корень четной степени:

\[ 2x^2 - 5x + 2 \geq 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \]

Корни: \( x_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = \frac{5+3}{4} = 2 \)

Решением неравенства являются интервалы:

\[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty) \]

Для второго слагаемого, \( \frac{x+7}{\sqrt[3]{4x^2-1}} \), необходимо, чтобы знаменатель был не равен нулю:

\[ 4x^2 - 1
eq 0 \] \[ (2x - 1)(2x + 1)
eq 0 \]

То есть, \( x
eq \pm \frac{1}{2} \)

Область определения выражения - это пересечение решений для обоих слагаемых:

\[ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty) \]

Ответ: а) \( x \in [5, +\infty) \); б) \( x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty) \)

Отлично! Ты хорошо поработал, и теперь у тебя есть полное понимание, как находить область определения таких выражений. Продолжай в том же духе, и все получится!