Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины *A*, *B*, *C*, *B₁*, *C₁* правильной треугольной призмы *ABC A₁B₁C₁*, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

Пошаговое решение:

1. Объём призмы *ABC A₁B₁C₁* равен произведению площади основания на высоту:

   \[V_{призмы} = S_{осн} \cdot h\]

   По условию, площадь основания \(S_{осн} = 6\), а боковое ребро (высота) \(h = 9\). Тогда:

   \[V_{призмы} = 6 \cdot 9 = 54\]

2. Многогранник, вершинами которого являются *A*, *B*, *C*, *B₁*, *C₁*, представляет собой часть призмы. Этот многогранник можно получить, если от призмы отрезать пирамиду *A₁AB₁C₁*.

   Объем этой пирамиды составляет треть от объема призмы, у которой площадь основания равна площади боковой грани призмы *ABC A₁B₁C₁*, а высота равна высоте призмы.

   Так как площадь боковой грани составляет половину основания призмы, то объём пирамиды равен \(\frac{1}{3}\) объема призмы.

3. Тогда объём многогранника *ABCB₁C₁* равен:

   \[V_{многогр} = V_{призмы} - V_{пирамиды} = V_{призмы} - \frac{1}{2} V_{призмы} = \frac{1}{2} V_{призмы}\] \[V_{многогр} = \frac{1}{2} \cdot 54 = 27\]

Ответ: 27