Найдите объём прямого кругового усечённого конуса, если площадь боковой поверхности равна 117п, образующая равна 13, а диагональ осевого сечения – 15. В ответе укажите объём, делённый на п.

Ответ: 324

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как r и R, где r < R. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна \[S_{бок} = \pi (r + R) l \], где l – образующая. По условию, S_бок = 117π и l = 13, следовательно: \[\pi (r + R) \cdot 13 = 117\pi\] Делим обе части на 13π: \[r + R = 9\]
• Шаг 2: Диагональ осевого сечения равна 15. Осевое сечение – это равнобедренная трапеция с основаниями 2r и 2R, боковые стороны которой равны образующей l = 13. Высоту трапеции h можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, частью большего основания (R - r) и диагональю 15. Тогда по теореме Пифагора: \[h^2 + (R + r)^2 = 15^2\] Подставляем r + R = 9: \[h^2 + (R - r)^2 = 13^2\] \[(R + r)^2 = 9^2 = 81\]
• Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой 15, катетами h и R+r: \[h^2 + (R+r)^2 = 15^2 = 225\] И прямоугольный треугольник с гипотенузой 13, катетами h и R-r: \[h^2 + (R-r)^2 = 13^2 = 169\] Вычитаем второе уравнение из первого: \[(R+r)^2 - (R-r)^2 = 225 - 169\] \[4Rr = 56\] \[Rr = 14\]
• Шаг 4: Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} r + R = 9 \\ Rr = 14 \end{cases}\] Выразим r через R из первого уравнения: r = 9 - R и подставим во второе: \[(9 - R)R = 14\] \[9R - R^2 = 14\] \[R^2 - 9R + 14 = 0\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\] \[R_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}\] \[R_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7, \quad R_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2\] Так как R > r, то R = 7 и r = 9 - 7 = 2.
• Шаг 5: Находим высоту h из уравнения \[h^2 + (R - r)^2 = 13^2\]: \[h^2 + (7 - 2)^2 = 169\] \[h^2 + 25 = 169\] \[h^2 = 144\] \[h = 12\]
• Шаг 6: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)\] Подставляем значения: \[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 (7^2 + 2^2 + 7 \cdot 2)\] \[V = 4 \pi (49 + 4 + 14)\] \[V = 4 \pi (67)\] \[V = 268 \pi\] По условию, нужно указать объем, делённый на π: \[\frac{V}{\pi} = \frac{268 \pi}{\pi} = 268\]

Ответ: 268

Ответ: 268