Найдите основание треугольника АВС.

Пусть основание равно x, а боковые стороны равны y. Периметр равен x + 2y = 48. Так как окружность вписана, то точки касания делят стороны на отрезки. Для равнобедренного треугольника с основанием AC, точки касания K на AB, M на BC, L на AC. AK = AL, CL = CM, BK = BM. Известно AK:KB = 3:2. Пусть AK = 3t, KB = 2t. Тогда AB = 5t. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 5t. AL = AK = 3t. CL = AC - AL = x - 3t. CM = CL = x - 3t. BM = BK = 2t. BC = BM + CM = 2t + (x - 3t) = x - t. Но BC = 5t, следовательно, 5t = x - t, что дает x = 6t. Теперь подставим в периметр: 6t + 2(5t) = 48. 6t + 10t = 48. 16t = 48. t = 3. Основание AC = x = 6t = 6 * 3 = 18.