Найдите основание треугольника АВС.

Решение:

Пусть \( AK = 3x \) и \( KB = 2x \). Поскольку треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), то \( AB = BC \).

Следовательно, \( AB = AK + KB = 3x + 2x = 5x \).

Так как \( AB = BC \), то \( BC = 5x \).

Периметр треугольника \( ABC \) равен \( AB + BC + AC = 48 \).

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) вписанная окружность касается сторон \( AB, BC, AC \) в точках \( K, M, L \) соответственно.

По свойствам касательных, проведённых из одной точки к окружности:

\( AK = AL \), \( CK = CM \) (ошибка в условии, должно быть \( CK = CM \), а не \( BK = BM \)), \( BK = BM \) (ошибка в условии, должно быть \( CM = CL \)).

Если \( AK = 3x \) и \( KB = 2x \), то \( AB = 5x \).

По свойству касательных, проведённых из вершины \( B \) к вписанной окружности, \( BK = BM = 2x \).

По свойству касательных, проведённых из вершины \( A \) к вписанной окружности, \( AK = AL = 3x \).

По свойству касательных, проведённых из вершины \( C \) к вписанной окружности, \( CM = CL \).

Так как \( AB = BC \), то \( AK + KB = AL + LC \).

\( 3x + 2x = 3x + CL \)

\( 5x = 3x + CL \)

\( CL = 2x \).

Значит, \( CM = CL = 2x \).

Основание \( AC = AL + LC = 3x + 2x = 5x \).

Периметр \( P = AB + BC + AC = 5x + 5x + 5x = 15x \).

По условию \( P = 48 \).

\( 15x = 48 \)

\( x = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2 \).

Основание \( AC = 5x = 5 \cdot 3.2 = 16 \).

Ответ: 16