22. Найдите остаток от деления 5⁴⁷ на 13.

Ответ: 8

Шаг 1: Заметим, что 5² = 25, а 25 при делении на 13 дает остаток 12, то есть 25 ≡ 12 (mod 13). Также можно сказать, что 12 ≡ -1 (mod 13).

Шаг 2: Выразим 5⁴⁷ как 5 × (5²)²³.

Шаг 3: Заменим 5² на -1 (mod 13), тогда получим: 5 × (-1)²³ (mod 13).

Шаг 4: Так как (-1)²³ = -1, выражение упрощается до 5 × (-1) (mod 13), что равно -5 (mod 13).

Шаг 5: Чтобы получить положительный остаток, прибавим 13 к -5: -5 + 13 = 8.

Таким образом, остаток от деления 5⁴⁷ на 13 равен 8.

Ответ: 8