Найдите остаток от деления: а) 3²⁰²⁵ + 9¹⁰¹² на 13; б) 7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ на 19; в) 2²⁰²⁵ + 2²⁰²⁶ + 2²⁰²⁷ на 11; г) (18²⁰²⁴ + 20²⁰²⁶)²⁰²⁵ на 19.

1. Так как 9 = 3², получаем:

   3²⁰²⁵ + 9¹⁰¹² = 3²⁰²⁵ + 3²⁰²⁴ = 4 · 3²⁰²⁴.

   По модулю 13: 3³ ≡ 1, а 2024 даёт остаток 2 при делении на 3. Поэтому 4 · 3²⁰²⁴ ≡ 4 · 3² = 36 ≡ 10 (mod 13).

2. По модулю 19: 7³ = 343 ≡ 1. Показатели 2024, 2025 и 2026 дают остатки 2, 0 и 1 при делении на 3:

   7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ ≡ 7² + 1 + 7 = 49 + 1 + 7 = 57 ≡ 0 (mod 19).

3. По модулю 11: 2¹⁰ ≡ 1. Показатели 2025, 2026 и 2027 дают остатки 5, 6 и 7 при делении на 10:

   2²⁰²⁵ + 2²⁰²⁶ + 2²⁰²⁷ ≡ 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ ≡ 10 + 9 + 7 = 26 ≡ 4 (mod 11).

4. По модулю 19: 18 ≡ −1 и 20 ≡ 1. Следовательно, выражение в скобках сравнимо с (−1)²⁰²⁴ + 1²⁰²⁶ = 2.

   Так как 2⁹ = 512 ≡ 18 (mod 19) и 2¹⁸ ≡ 1, то 2²⁰²⁵ ≡ 2⁹ ≡ 18 (mod 19).

Ответ: а) 10; б) 0; в) 4; г) 18.