26. Найдите остаток при делении 2¹⁰⁰ на 7.

Шаг 1: Найдем остатки от деления нескольких первых степеней 2 на 7:

• 2¹ mod 7 = 2
• 2² mod 7 = 4
• 2³ mod 7 = 8 mod 7 = 1

Шаг 2: Заметим, что 2³ дает остаток 1 при делении на 7. Это значит, что 2³ ≡ 1 (mod 7). Теперь можно использовать это свойство для упрощения 2¹⁰⁰.

Шаг 3: Выразим 2¹⁰⁰ через степень, близкую к 3, чтобы воспользоваться свойством 2³ ≡ 1 (mod 7).

2¹⁰⁰ = (2³)³³ * 2¹

Шаг 4: Так как 2³ ≡ 1 (mod 7), то (2³)³³ ≡ 1³³ (mod 7) ≡ 1 (mod 7).

Шаг 5: Теперь найдем остаток от деления 2¹⁰⁰ на 7:

2¹⁰⁰ mod 7 = (2³)³³ * 2¹ mod 7 = 1 * 2 mod 7 = 2 mod 7

Остаток от деления 2¹ на 7 равен 2. Таким образом, 2¹⁰⁰ mod 7 = 2 mod 7 = 2.

Шаг 6: В решении выше закралась ошибка. 2¹⁰⁰ = (2³)³³ * 2¹ -> 2¹⁰⁰ mod 7 = (2³)³³ * 2¹ mod 7 = 1 * 2 mod 7 = 2 mod 7 - тут правильно, но в итоге ответ написан неверно = 2. Правильный ответ - 4. Нужно внимательно следить за вычислениями и не допускать оплошностей.