1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 38° меньше другого. 2. Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют углы, один из которых равен 54°. Найдите острые углы треугольника. 3. В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до вершины другого острого угла равно 14 см. Найдите расстояние от основания биссектрисы до вершины прямого угла.

Задача 1:

Пусть один из острых углов равен \( x \), тогда другой равен \( x + 38° \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

1. Составим уравнение: \[ x + (x + 38°) = 90° \]
2. Решим уравнение: \[ 2x + 38° = 90° \] \[ 2x = 90° - 38° \] \[ 2x = 52° \] \[ x = 26° \]
3. Найдем второй угол: \[ x + 38° = 26° + 38° = 64° \]

Ответ: Острые углы равны 26° и 64°.

Задача 2:

Пусть биссектриса прямого угла образует угол 45°. Биссектриса острого угла делит его пополам. Угол между биссектрисами равен 54°.

1. Обозначим острый угол треугольника как \( y \). Тогда половина этого угла равна \( \frac{y}{2} \).
2. Составим уравнение, используя внешний угол треугольника: \[ 45° + \frac{y}{2} = 54° \]
3. Решим уравнение: \[ \frac{y}{2} = 54° - 45° \] \[ \frac{y}{2} = 9° \] \[ y = 18° \]
4. Найдем второй острый угол: \[ 90° - 18° = 72° \]

Ответ: Острые углы равны 18° и 72°.

Задача 3:

В прямоугольном треугольнике с углом 60° проведена биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до вершины другого острого угла равно 14 см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 60°, угол C = 90°. Биссектриса угла A делит его на два угла по 30°.
2. Пусть D - основание биссектрисы, тогда угол CAD = 30°. Расстояние от D до вершины B равно 14 см (BD = 14 см).
3. В треугольнике ABD угол BAD = 30°, угол B = 30° (так как 90° - 60° = 30°). Значит, треугольник ABD равнобедренный, и AD = BD = 14 см.
4. Рассмотрим треугольник ADC. В нем угол CAD = 30°, угол C = 90°, значит, \( \angle ADC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
5. Найдем расстояние от D до вершины C (DC). Используем тангенс угла CAD: \[ \tan(30°) = \frac{DC}{AD} \] \[ DC = AD \cdot \tan(30°) \] \[ DC = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ DC = \frac{14\sqrt{3}}{3} \approx 8.08 \text{ см} \]

Ответ: Расстояние от основания биссектрисы до вершины прямого угла примерно равно 8.08 см.