1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 37° больше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 5 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Найдите острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника АВС (∠C = 90°), если ∠A =630 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

Ответ: 1) 26.5° и 63.5°; 2) 10 см; 3) 27°; 4) 28 и 14

1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 37° больше другого.

• Пусть меньший угол равен x , тогда больший угол равен x + 37° .
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Составим уравнение: x + x + 37° = 90° .
• Решаем уравнение: 2x = 90° - 37° \(= 53°\) , x = 26.5° .
• Больший угол: 26.5° + 37° = 63.5° .

2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 5 см, внешний угол при вершине B равен 150°. Найти длину гипотенузы AB.

• Внешний угол при вершине B равен 150°, значит внутренний угол при вершине B равен 180° - 150° = 30° .
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, гипотенуза AB в два раза больше катета AC.
• AB = 2 \( \cdot \) AC = 2 \( \cdot \) 5 = 10 см.

3. Найдите острый угол между высотой CH и биссектрисой CK прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если ∠A = 63°.

• ∠B = 90° - ∠A = 90° - 63° = 27°.
• Угол между высотой CH и катетом AC равен углу B, то есть 27°.
• Биссектриса CK делит прямой угол C пополам, поэтому ∠ACK = 45°.
• Угол между высотой CH и биссектрисой CK равен 45° - ∠ACH = 45° - 27° = 18°.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

• Пусть меньший катет равен x , тогда гипотенуза равна 42 - x .
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, меньший катет равен половине гипотенузы.
• x = \(\frac{1}{2}\)(42 - x)
• Решаем уравнение: 2x = 42 - x , 3x = 42 , x = 14 .
• Гипотенуза: 42 - 14 = 28 .

Ответ: 1) 26.5° и 63.5°; 2) 10 см; 3) 27°; 4) 28 и 14