Найдите периметр треугольника \( ABC \).

Пошаговое решение:

• Поскольку \( BF \) — половина \( BC \), обозначим \( BF = x \), тогда \( BC = 2x \).
• Так как \( D \) — середина \( BC \), то \( BD = DC = x \).
• Рассмотрим треугольник \( BFC \). Угол \( \angle FBC = 60^\circ \), \( BF = \frac{1}{2}BC \). Значит, \( \triangle BFC \) — равносторонний, и \( FC = BF = x \).
• Проведем медиану \( BE \) в треугольнике \( ABC \). Точка пересечения медиан (точка \( F \)) делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, \( BE = 3FE = 3 \cdot 13 = 39 \).
• Аналогично, медиана \( AD = 3FD = 3 \cdot 8 = 24 \).
• Используем свойство медианы: медиана делит сторону пополам. Значит, \( AE = EC \) и \( BD = DC \).
• Известно, что медиана, проведенная к стороне, равна половине этой стороны, если угол напротив этой стороны равен 60 градусам. Следовательно, \( BE = \frac{1}{2}AC \), значит, \( AC = 2BE = 2 \cdot 39 = 78 \).
• Теперь рассмотрим медиану \( AD \). Она делит сторону \( BC \) пополам. Пусть \( BC = a \), тогда \( BD = \frac{a}{2} \). \( AD = 24 \).
• Сторона \( AB = 2FA = 2 \cdot 22 = 44 \).
• Периметр треугольника \( ABC \) равен сумме всех его сторон: \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).
• Подставим известные значения: \( P_{ABC} = 44 + a + 78 \).

Ответ: 122