Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 8, AC = BC, CD : DA = 3 : 2.

Пусть O - центр вписанной окружности. Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим точки касания на AC, BC, AB как E, F, G соответственно. Тогда AE = AG, BE = BG, CE = CF. Из условия CD : DA = 3 : 2, и так как D - точка касания, то CD = CE и DA = AE. Следовательно, CE = 3x, AE = 2x. Тогда AC = AE + CE = 2x + 3x = 5x. Так как AC = BC, то BC = 5x. AB = AG + BG. Так как AE = AG и BE = BG, то AB = AE + BE = 2x + BE. Из условия AB = 8, имеем 2x + BE = 8. Также BE = BF. CE = CF = 3x. BC = BF + CF = BE + 3x = 5x. Из 2x + BE = 8 следует BE = 8 - 2x. Подставляем в BC = BE + 3x: 5x = (8 - 2x) + 3x. 5x = 8 + x. 4x = 8. x = 2. Тогда AE = 2x = 4, CE = 3x = 6. AC = AE + CE = 4 + 6 = 10. BC = AC = 10. BE = 8 - 2x = 8 - 4 = 4. AB = AG + BG = AE + BE = 4 + 4 = 8. Периметр P = AB + AC + BC = 8 + 10 + 10 = 28.