Найдите периметр треугольника ABC, если AD = 21, BD = 4 (см. рисунок)

Пошаговое решение:

• Пусть окружность касается стороны AC в точке E, а стороны BC в точке F.
• По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:
  • AE = AD = 21
  • BF = BD = 4
  • CE = CF = x
• Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + AC
• Выразим стороны треугольника через известные отрезки:
  • AB = AD + DB = 21 + 4 = 25
  • BC = BF + FC = 4 + x
  • AC = AE + EC = 21 + x
• Подставим значения в формулу периметра: P = 25 + (4 + x) + (21 + x) = 25 + 4 + x + 21 + x = 50 + 2x
• Заметим, что нам нужно найти значение x, чтобы вычислить периметр. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AB² = AC² + BC²
• Подставим известные значения: 25² = (21 + x)² + (4 + x)²
• Раскроем скобки: 625 = (441 + 42x + x²) + (16 + 8x + x²)
• Упростим уравнение: 625 = 2x² + 50x + 457
• Перенесем все члены в одну сторону: 2x² + 50x - 168 = 0
• Разделим уравнение на 2: x² + 25x - 84 = 0
• Решим квадратное уравнение: x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
• Найдем дискриминант: D = 25² - 4 * 1 * (-84) = 625 + 336 = 961
• Найдем корни: x₁ = \(\frac{-25 + \sqrt{961}}{2}\) = \(\frac{-25 + 31}{2}\) = 3, x₂ = \(\frac{-25 - 31}{2}\) = -28 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
• Таким образом, x = 3
• Подставим найденное значение x в формулу периметра: P = 50 + 2 * 3 = 50 + 6 = 56

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 56.