Найдите первообразную для функции f(x) = (x - 7)^5 и выберите верный ответ из предложенных.

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = (x - 7)^5 \), мы используем правило интегрирования степенной функции: \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \).

В данном случае \( u = x - 7 \) и \( n = 5 \). Тогда \( du = dx \).

Применяем правило:

\[ F(x) = \int (x - 7)^5 dx = \frac{(x - 7)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{(x - 7)^6}{6} + C \]

Среди предложенных вариантов:

• \( F(x) = \frac{(x - 7)^6}{6} + C \)
• \( F(x) = \frac{(x - 7)^4}{4} + C \)
• \( F(x) = \frac{x}{5} + C \)
• \( F(x) = (x - 7)^6 + C \)

Верный ответ — первый вариант.

Ответ: \( F(x) = \frac{(x - 7)^6}{6} + C \).