Найдите первые пять членов числовой последовательности $(a_n)$, если она задана с помощью формулы $n$-го члена ($n=1,2,3,\ldots$): 1) $a_n=\dfrac{n}{\sqrt n+1}$; 2) $a_n=\dfrac{2n}{\sqrt{3n-1}}$; 3) $a_n=\dfrac{2n-1}{\sqrt n+2}$; 4) $a_n=\dfrac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найдите первые пять членов числовой последовательности $(a_n)$, если она задана с помощью формулы $n$-го члена…$ Фото задания

Найдите первые пять членов числовой последовательности $(a_n)$, если она задана с помощью формулы $n$-го члена ($n=1,2,3,\ldots$): 1) $a_n=\dfrac{n}{\sqrt n+1}$; 2) $a_n=\dfrac{2n}{\sqrt{3n-1}}$; 3) $a_n=\dfrac{2n-1}{\sqrt n+2}$; 4) $a_n=\dfrac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$.

Accepted Answer

В каждой формуле подставляем последовательно $n=1,2,3,4,5$.

1) $a_1=\dfrac{1}{\sqrt1+1}=\dfrac12$, $a_2=\dfrac{2}{\sqrt2+1}=2(\sqrt2-1)$, $a_3=\dfrac{3}{\sqrt3+1}=\dfrac{3(\sqrt3-1)}2$, $a_4=\dfrac{4}{\sqrt4+1}=\dfrac43$, $a_5=\dfrac{5}{\sqrt5+1}=\dfrac{5(\sqrt5-1)}4$.

2) $a_1=\dfrac2{\sqrt2}=\sqrt2$, $a_2=\dfrac4{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{5}$, $a_3=\dfrac6{\sqrt8}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$, $a_4=\dfrac8{\sqrt{11}}=\dfrac{8\sqrt{11}}{11}$, $a_5=\dfrac{10}{\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}7$.

3) $a_1=\dfrac1{\sqrt1+2}=\dfrac13$, $a_2=\dfrac3{\sqrt2+2}=\dfrac{3(2-\sqrt2)}2$, $a_3=\dfrac5{\sqrt3+2}=5(2-\sqrt3)$, $a_4=\dfrac7{\sqrt4+2}=\dfrac74$, $a_5=\dfrac9{\sqrt5+2}=9(\sqrt5-2)$.

4) $a_1=\dfrac3{\sqrt1+1}=\dfrac32$, $a_2=\dfrac6{\sqrt3+1}=3(\sqrt3-1)$, $a_3=\dfrac9{\sqrt5+1}=\dfrac{9(\sqrt5-1)}4$, $a_4=\dfrac{12}{\sqrt7+1}=2(\sqrt7-1)$, $a_5=\dfrac{15}{\sqrt9+1}=\dfrac{15}4$.

Ответ: 1) $\dfrac12,\ 2(\sqrt2-1),\ \dfrac{3(\sqrt3-1)}2,\ \dfrac43,\ \dfrac{5(\sqrt5-1)}4$; 2) $\sqrt2,\ \dfrac{4\sqrt5}5,\ \dfrac{3\sqrt2}2,\ \dfrac{8\sqrt{11}}{11},\ \dfrac{5\sqrt{14}}7$; 3) $\dfrac13,\ \dfrac{3(2-\sqrt2)}2,\ 5(2-\sqrt3),\ \dfrac74,\ 9(\sqrt5-2)$; 4) $\dfrac32,\ 3(\sqrt3-1),\ \dfrac{9(\sqrt5-1)}4,\ 2(\sqrt7-1),\ \dfrac{15}4$.