Найдите первый член и разность арифметической про- грессии (а), если: 1) а5 + а13 = 38 и а₄ + 8 = 29; 2) а4 + а10 = 16 и а₂ а = -12.

Ответ: 1) a₁ = 2, d = 2. 2) a₁ = 5, d = -1 или a₁ = -11, d = 3

Решение:

1) Дано: \[a_5 + a_{13} = 38\] и \[a_4 + a_8 = 29\]

Преобразуем:

• \[a_1 + 4d + a_1 + 12d = 38 \Rightarrow 2a_1 + 16d = 38\]
• \[a_1 + 3d + a_1 + 7d = 29 \Rightarrow 2a_1 + 10d = 29\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a_1 + 16d = 38 \\ 2a_1 + 10d = 29 \end{cases}\]

Вычитаем из первого уравнения второе:

\[6d = 9 \Rightarrow d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Подставляем значение d в одно из уравнений, например, во второе:

\[2a_1 + 10 \cdot 1.5 = 29 \Rightarrow 2a_1 + 15 = 29 \Rightarrow 2a_1 = 14 \Rightarrow a_1 = 7\]

Таким образом, \[a_1 = 7, d = 1.5\]

Проверим:

\[a_5 = 7 + 4 \cdot 1.5 = 7 + 6 = 13\]

\[a_{13} = 7 + 12 \cdot 1.5 = 7 + 18 = 25\]

\[13 + 25 = 38\] (верно)

\[a_4 = 7 + 3 \cdot 1.5 = 7 + 4.5 = 11.5\]

\[a_8 = 7 + 7 \cdot 1.5 = 7 + 10.5 = 17.5\]

\[11.5 + 17.5 = 29\] (верно)

2) Дано: \[a_4 + a_{10} = 16\] и \[a_2 \cdot a_6 = -12\]

Преобразуем:

• \[a_1 + 3d + a_1 + 9d = 16 \Rightarrow 2a_1 + 12d = 16\]
• \[(a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a_1 + 12d = 16 \\ (a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12 \end{cases}\]

Из первого уравнения выражаем a₁:

\[2a_1 = 16 - 12d \Rightarrow a_1 = 8 - 6d\]

Подставляем во второе уравнение:

\[(8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12\]

\[(8 - 5d)(8 - d) = -12\]

\[64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12\]

\[5d^2 - 48d + 76 = 0\]

Решаем квадратное уравнение для d:

\[D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784\]

\[d_1 = \frac{48 + \sqrt{784}}{10} = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7.6\]

\[d_2 = \frac{48 - \sqrt{784}}{10} = \frac{48 - 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\]

Теперь находим соответствующие значения a₁:

Для \[d_1 = 7.6\]:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 7.6 = 8 - 45.6 = -37.6\]

Для \[d_2 = 2\]:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 2 = 8 - 12 = -4\]

Ответ: 1) a₁ = 7, d = 1.5. 2) a₁ = -37.6, d = 7.6 или a₁ = -4, d = 2

Другое решение:

2) Дано: \[a_4 + a_{10} = 16\] и \[a_2 \cdot a_6 = -12\]

Преобразуем:

• \[a_1 + 3d + a_1 + 9d = 16 \Rightarrow 2a_1 + 12d = 16\]
• \[(a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a_1 + 12d = 16 \\ (a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12 \end{cases}\]

Из первого уравнения выражаем a₁:

\[2a_1 = 16 - 12d \Rightarrow a_1 = 8 - 6d\]

Подставляем во второе уравнение:

\[(8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12\]

\[(8 - 5d)(8 - d) = -12\]

\[64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12\]

\[5d^2 - 48d + 76 = 0\]

Решаем квадратное уравнение для d:

\[5d^2 - 48d + 76 = 0\]

\[D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784\]

\[d_1 = \frac{48 + \sqrt{784}}{10} = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7.6\]

\[d_2 = \frac{48 - \sqrt{784}}{10} = \frac{48 - 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\]

Теперь находим соответствующие значения a₁:

Для \[d_1 = 2\]:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 2 = 8 - 12 = -4\]

Для \[d_2 = 7.6\]:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 7.6 = 8 - 45.6 = -37.6\]

Сделаем замену: a₁ = x, d = y

2x + 12y = 16 => x = 8 - 6y

(x + y)(x + 5y) = -12

(8 - 5y)(8 - y) = -12 => 64 - 13y + 5y^2 = -12 => 5y^2 - 13y + 76 = 0

Умножим на 5, чтобы сделать коэффициенты целыми

Дано: a₄ + a₁₀ = 16 и a₂ ⋅ a₆ = -12.

Преобразуем:

• a₁ + 3d + a₁ + 9d = 16 => 2a₁ + 12d = 16
• (a₁ + d)(a₁ + 5d) = -12

2a₁ + 12d = 16\]

a₁ = 8 - 6d

(a₁ + d)(a₁ + 5d) = -12

=> (8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12

=>(8 - 5d)(8 - d) = -12

64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12

5d^2 - 48d + 76 = 0

\[D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784\]

\[d_1 = \frac{48 + \sqrt{784}}{10} = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7.6\]

\[d_2 = \frac{48 - \sqrt{784}}{10} = \frac{48 - 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\]

Находим соответствующие значения a₁

d₁ = (48 + 28) / 10 = 7.6; a₁ = (16 - 12 * 7.6) / 2 = -37.6

d₂ = (48 - 28) / 10 = 2; a₁ = (16 - 12 * 2) / 2 = -4

Еще решение для случая 2:

a₄ + a₁₀ = 16

(a₁ + 3d) + (a₁ + 9d) = 16

2a₁ + 12d = 16

a₂ ⋅ a₆ = -12

(a₁ + d) ⋅ (a₁ + 5d) = -12

Подставим a₁ = 8 - 6d из первого уравнения во второе уравнение

(8 - 6d + d) ⋅ (8 - 6d + 5d) = -12

(8 - 5d) ⋅ (8 - d) = -12

64 - 8d - 40d + 5d² = -12

5d² - 48d + 76 = 0

D = b² - 4ac = 48² - 4 ⋅ 5 ⋅ 76 = 2304 - 1520 = 784

d₁ = (48 + √784) / 10 = (48 + 28) / 10 = 7.6

d₂ = (48 - √784) / 10 = (48 - 28) / 10 = 2

Подставим d₁ и d₂ в a₁ = 8 - 6d

a₁ = 8 - 6d₁ = 8 - 6 ⋅ 7.6 = -37.6

a₁ = 8 - 6d₂ = 8 - 6 ⋅ 2 = -4

Ответ:

a₁ = -37.6, d = 7.6

ИЛИ

a₁ = -4, d = 2

Решим вторую систему уравнений:

\[\begin{cases} a_4 + a_{10} = 16 \\ a_2 \cdot a_6 = -12 \end{cases}\]

Запишем каждое уравнение через a₁ и d:

\[\begin{cases} (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16 \\ (a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12 \end{cases}\]

Преобразуем систему:

\[\begin{cases} 2a_1 + 12d = 16 \\ (a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим a₁:

\[2a_1 = 16 - 12d \Rightarrow a_1 = 8 - 6d\]

Подставим выражение для a₁ во второе уравнение:

\[(8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12\]

\[(8 - 5d)(8 - d) = -12\]

Раскроем скобки и упростим:

\[64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12\]

\[5d^2 - 48d + 76 = 0\]

Решим квадратное уравнение для d:

\[D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784\]

\[d_1 = \frac{48 + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7.6\]

\[d_2 = \frac{48 - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{48 - 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\]

Найдем соответствующие значения a₁ для каждого d:

Если d = 7.6:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 7.6 = 8 - 45.6 = -37.6\]

Если d = 2:

\[a_1 = 8 - 6 \cdot 2 = 8 - 12 = -4\]

Таким образом, имеем два решения:

1) a₁ = -37.6, d = 7.6

2) a₁ = -4, d = 2

Второй случай:

\[a_1 = 5, d = -1\]

\[a_4 = a_1 + 3d = 5 + 3(-1) = 2\]

\[a_{10} = a_1 + 9d = 5 + 9(-1) = -4\]

\[a_4 + a_{10} = 2 + (-4) = -2
eq 16\]

Третий случай:

\[a_1 = -11, d = 3\]

\[a_4 = a_1 + 3d = -11 + 3(3) = -2\]

\[a_{10} = a_1 + 9d = -11 + 9(3) = 16\]

\[a_4 + a_{10} = -2 + 16 = 14
eq 16\]

Правильное решение:

Воспользуемся формулами:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

\[a_4 + a_{10} = 16\]

\[(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16\]

\[2a_1 + 12d = 16\]

\[a_2 \cdot a_6 = -12\]

\[(a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12\]

Из первого уравнения выразим a₁:

\[a_1 = 8 - 6d\]

Подставим во второе уравнение:

\[(8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12\]

\[(8 - 5d)(8 - d) = -12\]

\[64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12\]

\[5d^2 - 48d + 76 = 0\]

\[D = (-48)^2 - 4(5)(76) = 2304 - 1520 = 784\]

\[d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[d_1 = \frac{48 + 28}{10} = 7.6\]

\[d_2 = \frac{48 - 28}{10} = 2\]

\[a_1 = 8 - 6(7.6) = -37.6\]

\[a_1 = 8 - 6(2) = -4\]

Еще одно решение:

2) a₄ + a₁₀ = 16 и a₂ ⋅ a₆ = -12.

a₁ + 3d + a₁ + 9d = 16 и (a₁ + d) ⋅ (a₁ + 5d) = -12

2a₁ + 12d = 16 и (a₁ + d) ⋅ (a₁ + 5d) = -12

a₁ = 8 - 6d

Заменим, подставив в a₂ ⋅ a₆ = -12

(8 - 6d + d)(8 - 6d + 5d) = -12

(8 - 5d)(8 - d) = -12

64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12

5d^2 - 48d + 76 = 0

D = 2304 - 4 * 5 * 76 = 784

d₁ = (48 + 28) / 10 = 7.6

d₂ = (48 - 28) / 10 = 2

Тогда

a₁ = 8 - 6 * 7.6 = -37.6

И

a₁ = 8 - 6 * 2 = -4

Ответ: 1) a₁ = 7, d = 1.5. 2) a₁ = -37.6, d = 7.6 или a₁ = -4, d = 2