Найдите площадь \(\triangle ABC\), если \(A(2;1), B(-3; 4), C(1; 1)\).

Решение:

Логика такая: проще всего найти площадь треугольника, если достроить его до прямоугольника и вычесть площади «лишних» прямоугольных треугольников. Смотри, как это работает:

1. Строим прямоугольник:

Представь, что вокруг нашего треугольника \(ABC\) есть прямоугольник, стороны которого проходят через самые крайние точки по осям координат. Вершины этого прямоугольника: \((-3; 1)\), \((2; 1)\), \((2; 4)\), \((-3; 4)\).

2. Находим площадь прямоугольника:

Длина прямоугольника: \(2 - (-3) = 5\). Ширина прямоугольника: \(4 - 1 = 3\). Площадь прямоугольника: \(5 \times 3 = 15\).

3. Вычитаем площади лишних треугольников:
• Треугольник 1 (между точками \(A\), \(B\) и нижней стороной прямоугольника): Основание: \(2 - (-3) = 5\). Высота: \(4 - 1 = 3\). Площадь: \(\frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5\).
• Треугольник 2 (между точками \(B\), \(C\) и верхней стороной прямоугольника): Основание: \(-3 - 1 = -4\) (берем модуль, т.к. длина не может быть отрицательной, то есть 4). Высота: \(4 - 1 = 3\). Площадь: \(\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\).
• Треугольник 3 (между точками \(A\), \(C\) и правой стороной прямоугольника): Основание: \(2 - 1 = 1\). Высота: \(1 - 1 = 0\). Площадь: \(\frac{1}{2} \times 1 \times 0 = 0\) (фактически, это не треугольник, а отрезок).
4. Считаем площадь исходного треугольника:

Площадь \(\triangle ABC\) = Площадь прямоугольника - Площадь треугольника 1 - Площадь треугольника 2 - Площадь треугольника 3.

Площадь \(\triangle ABC\) = \(15 - 7.5 - 6 - 0 = 1.5\).

Ответ: 1.5

Проверка за 10 секунд: Убедись, что вычел площади всех лишних треугольников из площади прямоугольника.

Читерский прием: Если забыл формулу площади треугольника через координаты, этот метод с прямоугольником всегда выручит!