Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 24.17 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Привет! Разберёмся с этой задачей вместе. Нам нужно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем прямой призмы на рисунке 24.17. Смотри, как это работает:

Решение:

Для начала найдём площадь основания призмы. Основание — это треугольник со сторонами 8, 12 и углом 60° между ними. Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)\]

где a и b — стороны треугольника, а \(\gamma\) — угол между ними. В нашем случае a = 8, b = 12, \(\gamma\) = 60°.

• Подставляем значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\]

Площадь основания равна \(24\sqrt{3}\) см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Боковая поверхность состоит из трёх прямоугольников. Высота призмы равна 6 см. Стороны основания — 8, 12 и сторона, которую нужно найти. Найдем третью сторону треугольника по теореме косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\]

где a = 8, b = 12, \(\gamma\) = 60°.

\[c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 144 - 96 = 112\]\[c = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\]

Третья сторона треугольника равна \(4\sqrt{7}\) см.

Площади боковых граней:

• \(S_1 = 8 \cdot 6 = 48\) см²
• \(S_2 = 12 \cdot 6 = 72\) см²
• \(S_3 = 4\sqrt{7} \cdot 6 = 24\sqrt{7}\) см²

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 48 + 72 + 24\sqrt{7} = 120 + 24\sqrt{7}\]

Площадь боковой поверхности равна \(120 + 24\sqrt{7}\) см².

Теперь найдём площадь полной поверхности призмы. Площадь полной поверхности — это сумма площадей боковой поверхности и двух оснований:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 120 + 24\sqrt{7} + 2 \cdot 24\sqrt{3} = 120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}\]

Площадь полной поверхности равна \(120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}\) см².

Теперь найдём объем призмы. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[V = S_{осн} \cdot h = 24\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3}\]

Объем призмы равен \(144\sqrt{3}\) см³.

Ответ: Площадь боковой поверхности: \(120 + 24\sqrt{7}\) см², Площадь полной поверхности: \(120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}\) см², Объем: \(144\sqrt{3}\) см³