Найдите площадь четырехугольника ABCD

Пусть $$S_{ABCD}$$ - площадь четырехугольника ABCD, $$S_{ABN}$$ - площадь треугольника ABN, $$S_{CKD}$$ - площадь треугольника CKD. Нам дано, что $$S_{ABN} = 6$$ и $$S_{CKD} = 2$$. Также известно, что $$BN = 2NC$$ и $$AK = KD$$. 1. Выразим $$NC$$ через $$BC$$ и $$AK$$ через $$AD$$. Так как $$BN = 2NC$$, то $$BC = BN + NC = 2NC + NC = 3NC$$. Следовательно, $$NC = \frac{1}{3} BC$$. Так как $$AK = KD$$, то $$AD = AK + KD = AK + AK = 2AK$$. Следовательно, $$AK = \frac{1}{2} AD$$. 2. Рассмотрим треугольники $$ABN$$ и $$ABC$$. У них общая высота, проведенная из вершины A к прямой BC. Тогда отношение их площадей равно отношению длин оснований: $$\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = \frac{BN}{BC} = \frac{2NC}{3NC} = \frac{2}{3}$$. Зная, что $$S_{ABN} = 6$$, можем найти $$S_{ABC}$$: $$S_{ABC} = \frac{3}{2} S_{ABN} = \frac{3}{2} cdot 6 = 9$$. 3. Рассмотрим треугольники $$CKD$$ и $$ACD$$. У них общая высота, проведенная из вершины C к прямой AD. Тогда отношение их площадей равно отношению длин оснований: $$\frac{S_{CKD}}{S_{ACD}} = \frac{KD}{AD} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2}$$. Зная, что $$S_{CKD} = 2$$, можем найти $$S_{ACD}$$: $$S_{ACD} = 2 S_{CKD} = 2 cdot 2 = 4$$. 4. Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$: $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 9 + 4 = 13$$. **Ответ: 13**