Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке. Выберите один ответ:

Решение:

Данная фигура представляет собой сегмент параболы \( y = x^2 \), ограниченный сверху прямой \( y = 3 \) и снизу осью \( x \).

Для нахождения площади используем определённый интеграл:

• Найдем точки пересечения параболы \( y = x^2 \) с прямой \( y = 3 \): \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).
• Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \( y = 3 \) до \( y = x^2 \) в пределах от \( -\sqrt{3} \) до \( \sqrt{3} \):

\[ S = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (3 - x^2) dx \]

Вычисляем интеграл:

• \[ \int (3 - x^2) dx = 3x - \frac{x^3}{3} \]
• Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \left( 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - \left( 3(-\sqrt{3}) - \frac{(-\sqrt{3})^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) - \left( -3\sqrt{3} - \frac{-3\sqrt{3}}{3} \right) \]

\[ S = (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) - (-3\sqrt{3} + \sqrt{3}) \]

\[ S = 2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) \]

\[ S = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]

Однако, согласно изображению, заштрихованная область представляет собой площадь под параболой \( y = x^2 \) от \( x=0 \) до \( x=1 \) и ограничена сверху прямой \( y=1 \).

Найдем площадь под параболой \( y = x^2 \) от \( x=0 \) до \( x=1 \):

\[ S = \int_{0}^{1} x^2 dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]

Судя по выбору вариантов ответов, вероятнее всего, речь идет об площади под параболой \( y=x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x=1 \), которая составляет \( 1/3 \). Но в вариантах такого ответа нет.

Если принять, что на рисунке изображена площадь под параболой \( y = \frac{2}{3} x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = \sqrt{3} \) (примерно), то интеграл будет:

\[ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{2}{3} x^2 dx = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{2}{9} (\sqrt{3})^3 = \frac{2}{9} 3\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Рассмотрим вариант \( y = ax^2 \), проходящей через точки (1,1), (2,4), (3,9). На рисунке видно, что при \( x = \sqrt{2} \) \( y \approx 2 \).

Если принять, что парабола проходит через точки \( (-1, 1) \) и \( (1, 1) \), и далее через \( (2, 4) \), \( (-2, 4) \), то уравнение параболы \( y=x^2 \).

Если заштрихована площадь под \( y=x^2 \) от \( x=1 \) до \( x=\sqrt{2} \), то

\[ S = \int_{1}^{\sqrt{2}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}-1}{3} \]

Исходя из вариантов ответов, возможно, речь идёт о площади, вычисленной по формуле, связанной с параболой. Например, площадь сегмента параболы \( y = ax^2 \), отсекаемого прямой \( y = h \), равна \( \frac{2}{3} \) площади прямоугольника, в который вписана эта парабола. Здесь \( h = 3 \), \( x_{max} = \sqrt{3} \), площадь прямоугольника \( 2\sqrt{3} \times 3 = 6\sqrt{3} \). \( \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).

Если же речь идет о площади под параболой \( y = x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = a \), то \( S = a^3/3 \).

Если посмотреть на заштрихованную область, она начинается от \( x = 0 \) до \( x = 1 \) по оси X, и до \( y = 1 \) по оси Y. В этом случае уравнение параболы может быть \( y = x^2 \) или \( y = \sqrt{x} \).

Если \( y = x^2 \), то площадь под ней от 0 до 1 равна \( \int_0^1 x^2 dx = 1/3 \).

Если \( y = \sqrt{x} \), то площадь под ней от 0 до 1 равна \( \int_0^1 \sqrt{x} dx = \left[\frac{2}{3} x^{3/2}\right]_0^1 = 2/3 \).

Визуально заштрихованная область больше похожа на площадь под \( y = \sqrt{x} \) от 0 до 1. Этот ответ \( 2/3 \) есть в вариантах.

Примем, что изображена функция \( y = \sqrt{x} \) и ищется площадь под ней от \( x=0 \) до \( x=1 \).

\[ S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3} \]

Ответ: b. 2/3