Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2 и y=4

Привет! Давай разберемся, как найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Это задача из алгебры, и мы можем решить ее с помощью интегралов.

Дано:

• Функция 1: \( y = x^2 \) (парабола)
• Функция 2: \( y = 4 \) (прямая)

Что нужно найти: Площадь фигуры, ограниченной этими графиками.

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков. Чтобы найти, где графики пересекаются, приравниваем уравнения:
\( x^2 = 4 \) Из этого следует, что \( x = \pm 2 \). То есть, точки пересечения будут при \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
2. Определяем, какая функция верхняя, а какая нижняя. В интервале от -2 до 2, значение \( y=4 \) больше, чем \( y=x^2 \). Поэтому \( y=4 \) — это верхняя граница, а \( y=x^2 \) — нижняя.
3. Вычисляем площадь с помощью определенного интеграла. Формула для площади между двумя функциями \( f(x) \) (верхняя) и \( g(x) \) (нижняя) от \( a \) до \( b \) выглядит так:
\[ Area = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \] В нашем случае: \( f(x) = 4 \), \( g(x) = x^2 \), \( a = -2 \), \( b = 2 \). \[ Area = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \]
4. Вычисляем интеграл:
\[ Area = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[ Area = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ Area = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \] \[ Area = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ Area = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \] \[ Area = 16 - \frac{16}{3} \] Приводим к общему знаменателю: \[ Area = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] Можно также представить это как смешанное число: \( 10 \frac{2}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{32}{3}\) \(или 10 \frac{2}{3}\).