Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной:

Решение:

1. Вариант: \( y = 4x - x^2 \) и осью абсцисс.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (y=0):

\[ 4x - x^2 = 0 \]

\[ x(4 - x) = 0 \]

Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).

Площадь фигуры равна интегралу от функции \( y = 4x - x^2 \) по отрезку [0, 4]:

\[ S = \int_0^4 (4x - x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \left( 2(4^2) - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0^2) - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) - 0 = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]

2. Вариант: \( y = 4x - x^2 \), осью абсцисс, \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Площадь фигуры равна интегралу от функции \( y = 4x - x^2 \) по отрезку [0, 2]:

\[ S = \int_0^2 (4x - x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2(2^2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 2(0^2) - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - 0 = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \]

3. Вариант: \( y = 6x - x^2 \) и осью абсцисс.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (y=0):

\[ 6x - x^2 = 0 \]

\[ x(6 - x) = 0 \]

Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).

Площадь фигуры равна интегралу от функции \( y = 6x - x^2 \) по отрезку [0, 6]:

\[ S = \int_0^6 (6x - x^2) dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^6 = \left( 3(6^2) - \frac{6^3}{3} \right) - \left( 3(0^2) - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 3(36) - \frac{216}{3} \right) - 0 = (108 - 72) = 36 \]

4. Вариант: \( y = 6x - x^2 \), осью абсцисс, \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Площадь фигуры равна интегралу от функции \( y = 6x - x^2 \) по отрезку [0, 3]:

\[ S = \int_0^3 (6x - x^2) dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( 3(3^2) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 3(0^2) - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - 0 = 27 - 9 = 18 \]

5. Вариант: \( y = \textrm{sin } x \), осью абсцисс, \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{\pi}{3} \).

Площадь фигуры равна интегралу от функции \( y = \textrm{sin } x \) по отрезку [\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{3}\)]:

\[ S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \]

6. Вариант: \( y = x^2 \) и \( y = 4x - 3x^2 \).

Найдем точки пересечения:

\[ x^2 = 4x - 3x^2 \]

\[ 4x^2 - 4x = 0 \]

\[ 4x(x - 1) = 0 \]

Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

Найдем, какая функция выше на отрезке [0, 1]. Возьмем \( x = 0.5 \):

\( y_1 = (0.5)^2 = 0.25 \)

\( y_2 = 4(0.5) - 3(0.5)^2 = 2 - 3(0.25) = 2 - 0.75 = 1.25 \)

Значит, \( y = 4x - 3x^2 \) выше.

Площадь фигуры равна интегралу разности функций:

\[ S = \int_0^1 (4x - 3x^2 - x^2) dx = \int_0^1 (4x - 4x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{4x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 2(1^2) - \frac{4(1)^3}{3} \right) - 0 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3} \]

Ответ: 32/3, 16/3, 36, 18, (√3 - 1)/2, 2/3