1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если радиус окружности равен 6 см. 2. Найдите длину дуги окружности радиуса 8 м, если градусная мера его дуги равна 45°. 3. Длина дуги окружности равна 8π, а ее радиус равен 6. Найдите градусную меру этой дуги. 4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 см и 11 см. 5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 5 см., если его центральный угол равен 60°. 6. Площадь кругового сектора равна 9π м², а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Решение задания №1

Давай сначала вспомним формулы площади круга и длины окружности:

• Площадь круга: \[S = \pi r^2\]
• Длина окружности: \[C = 2 \pi r\]

В нашем случае радиус (r) равен 6 см. Подставим это значение в формулы:

• Площадь круга: \[S = \pi (6)^2 = 36\pi \approx 113.1 \text{ см}^2\]
• Длина окружности: \[C = 2 \pi (6) = 12\pi \approx 37.7 \text{ см}\]

Ответ: Площадь круга: \(36\pi \approx 113.1 \text{ см}^2\), длина окружности: \(12\pi \approx 37.7 \text{ см}\)

---

Решение задания №2

Нам нужно найти длину дуги окружности. Формула длины дуги выглядит так:

\[L = \frac{\theta}{360} \cdot 2 \pi r\]

Где \(\theta\) - это градусная мера дуги, а r - радиус окружности.

В нашем случае радиус (r) равен 8 м, а градусная мера дуги (\(\theta\)) равна 45°. Подставим значения в формулу:

\[L = \frac{45}{360} \cdot 2 \pi (8) = \frac{1}{8} \cdot 16 \pi = 2\pi \approx 6.28 \text{ м}\]

Ответ: Длина дуги окружности: \(2\pi \approx 6.28 \text{ м}\)

---

Решение задания №3

Чтобы найти градусную меру дуги, воспользуемся формулой длины дуги:

\[L = \frac{\theta}{360} \cdot 2 \pi r\]

Нам известна длина дуги (L = 8π) и радиус (r = 6). Нужно найти \(\theta\).

Преобразуем формулу, чтобы выразить \(\theta\):

\[\theta = \frac{L}{2 \pi r} \cdot 360\]

Подставим известные значения:

\[\theta = \frac{8\pi}{2 \pi (6)} \cdot 360 = \frac{8\pi}{12\pi} \cdot 360 = \frac{2}{3} \cdot 360 = 240^\circ\]

Ответ: Градусная мера дуги равна \(240^\circ\)

---

Решение задания №4

Площадь кольца можно найти как разность площадей большего и меньшего кругов:

\[S = S_{\text{большого круга}} - S_{\text{меньшего круга}} = \pi R^2 - \pi r^2\]

Где R - радиус большего круга, r - радиус меньшего круга.

В нашем случае R = 13 см, r = 11 см. Подставим значения в формулу:

\[S = \pi (13)^2 - \pi (11)^2 = \pi (169 - 121) = 48\pi \approx 150.8 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь кольца равна \(48\pi \approx 150.8 \text{ см}^2\)

---

Решение задания №5

Площадь кругового сектора можно найти по формуле:

\[S = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2\]

Где \(\theta\) - это центральный угол, r - радиус круга.

В нашем случае радиус (r) равен 5 см, а центральный угол (\(\theta\)) равен 60°. Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{60}{360} \cdot \pi (5)^2 = \frac{1}{6} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь кругового сектора равна \(\frac{25\pi}{6} \approx 13.09 \text{ см}^2\)

---

Решение задания №6

Чтобы найти радиус кругового сектора, воспользуемся формулой площади кругового сектора:

\[S = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2\]

Нам известна площадь сектора (S = 9π м²) и центральный угол (\(\theta\) = 40°). Нужно найти r.

Преобразуем формулу, чтобы выразить r:

\[r^2 = \frac{S}{\pi} \cdot \frac{360}{\theta}\] \[r = \sqrt{\frac{S}{\pi} \cdot \frac{360}{\theta}}\]

Подставим известные значения:

\[r = \sqrt{\frac{9\pi}{\pi} \cdot \frac{360}{40}} = \sqrt{9 \cdot 9} = \sqrt{81} = 9 \text{ м}\]

Ответ: Радиус сектора равен 9 м

Ответ: 1) \(S = 36\pi \approx 113.1 \text{ см}^2\), \(C = 12\pi \approx 37.7 \text{ см}\); 2) \(L = 2\pi \approx 6.28 \text{ м}\); 3) \(\theta = 240^\circ\); 4) \(S = 48\pi \approx 150.8 \text{ см}^2\); 5) \(S = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09 \text{ см}^2\); 6) \(r = 9 \text{ м}\)

Ответ:

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!